Примечания

1. Между прочим, это доказывает, что утверждение в замечании 3 на стр. 983 в [53] неверно. Я сделала ошибку при получении численного значения из доказательства Мейера.

2. Это именно то, что было сделано в приложении [53]. Остерегайтесь, однако, опечаток в приложении.

3. Если убрать ограничение, что — функция из с компактным носителем, то возможно существование многих других решений. С другой стороны, если мы будем на этом настаивать, то обязательно выполняется соотношение для некоторого то и будет производной решения из с компактным носителем для уравнения, полученного заменой на Общность не теряется при ограничении Доказательство можно посмотреть у Добеши и Лагариса в [59].

4. Во всех примерах, которые мы будем рассматривать, на самом деле не обязательно выбирать специфическую построенную ниже: алгоритм работал бы для любой с интегралом, равным единице.

5. Мы неявно предполагаем, что — вещественные. Все остается по-прежнему для комплексных тогда

6. В этом частном случае, наделяя нормой (эквивалентной обычной евклидовой норме на находим, что тогда

Немедленно получаем,

что равномерно ограничено по х и

7. Следующие рассуждения тоже дают прямое доказательство. Предположим, что Тогда существует такое что верно лишь одно из двух: либо Мы обсудим лишь второй случай; первый с ним схож. Мы имеем:

в силу (7.2.17). Вследствие выбора I, существует такое к что лежат в [0, 1]. Более того, мы можем выбрать двоичные разложения для в которых первые цифр совпадают (выбираем разложение, оканчивающееся единицами для и нулями для если х — диадическое). Следовательно,

где использовали оценку ограниченность и принадлежность для всех Аналогично можно оценить Все вместе это приводит к оценке

которая доказывает непрерывность по Гёльдеру с показателем а.

8. Здесь исправлена ошибка, допущенная в первом издании, где для в качестве показателя Гёльдера было задано слишком большое значение. Я благодарна Вильемосу и Хейлу за то, что указали на эту ошибку. Между прочим, случай является примером, в котором наилучшее из возможных А из (7.2.21) строго больше, чем В этом случае

9. Конечно, в работе Бейлкина, Койфмана и Рохлина [24] содержится намного больше! Для большого класса матриц оказывается, что после преобразования с использованием ортонормированного базиса вейвлетов плотные матрицы размерности сводятся к разреженным

структурам, содержащим лишь элементов, превосходящих порог е. Общая -ошибка, полученная отбрасыванием всех элементов, меньших, чем оказывается что является гораздо более глубоким результатом, чем объясняемое здесь «сжатие». Это в сущности теорема Давида и Журне, при доказательстве которой используется «тяжелая» аналитика.

10. Последующие рассуждения также выполняются для биортогонального случая (глава 8), где плоскость необязательно одинакова. Важна именно кратность нуля в

11. В [43] Коэн и Джонстон построили фильтры, которые оптимизируют критерии, являющиеся смесью обычных представлений и пожеланий, вытекающих из теории вейвлетов.