9.4. Интересный контраст между разложением по вейвлетам и рядом Фурье

Примечательность этого контраста заключается в различном поведении «полного» разложения в сравнении с «лакунарным» для двух методов разложения: по вейвлетам и в ряд Фурье. Начнем с простой леммы, позаимствованной, как и весь пункт, у Мейера из [142].

Лемма 9.4.1. Предположим, что — это функция на [0, 1], дифференцируемая в Пусть будет введенным ранее ортонормированным базисом для и пусть соответствующий вейвлет удовлетворяет условию Тогда из в котором ограничено множеством , где удовлетворяют при

Доказательство.

1. Для простоты предположим, что имеет компактный носитель Для достаточно больших это означает, что если . (И вновь это не является решающим фактором. Если функция не имеет компактного носителя, необходимо лишь быть несколько более внимательным при проведении данных ниже оценок.

2. Для Здесь

откуда

Отсюда следствие:

Следствие 9.4.2. Если для всех то имеем где то принадлежит для всех а но нигде не дифференцируется.

Доказательство немедленно следует из теоремы 9.2.2 и леммы Теперь построим функцию очень специального вида. Возьмем не зависящие от к. Тогда

где — периодическая функция. Мы имеем

где

В частном случае мейер (см. главы 4 и так что лишь если . Более того, Следовательно, и

«Полный» вейвлет-ряд слева имеет лакунарное разложение Фурье! Если сейчас выбрать чтобы выполнялись неравенства то, применяя следствие 9.4.2, можно заключить, что функция нигде не дифференцируема. Для данного случая, на самом деле, это является хорошо известным результатом о лакунарном ряде Фурье: ряд в котором но определяет непрерывную нигде не дифференцируемую функцию.

С другой стороны, если мы возьмем функцию с локализованной особенностью, которая, тем не менее, всюду принадлежит например, где то ее вейвлет-разложение будет более или менее лакунарным (все коэффициенты очень быстро убывают при за исключением тех, для которых близко к особенности), в то время как ряд Фурье является «полным»: , где Наличие особенности влияет на все коэффициенты Фурье.