Глава 9. Характеристика функциональных пространств с помощью вейвлетов

В этой главе мы покажем, что ортонормированные базисы, обсуждаемые нами в последних четырех главах, представляются также хорошими (т. е. безусловными) базисами для многих других пространств, помимо и превосходят в этом отношении базис Фурье. Почти весь материал этой главы позаимствован из работы Мейера [142]. Однако здесь он представлен (как я полагаю) более прозаически, доступнее для читателей, менее изощренных в математической софистике. В § 9.1 я начинаю с обзора классической теоремы из чистого гармонического анализа о разложении Кальдерона-Зигмунда. Ее также можно найти во многих учебниках (например, у Стейна в [167]). Здесь я поместила детальное доказательство, чтобы проиллюстрировать технику использования различных (диадических) масштабов, практиковавшуюся в гармоническом анализе задолго до того, как появились вейвлеты. Это вместе с некоторыми другими классическими теоремами доказывает, что вейвлеты являются безусловным базисом для . В § 9.2 с помощью вейвлетов характеризуются другие функциональные пространства (доказательства не приведены). Коротко обсуждается выделение сингулярностей с помощью ортогонального базиса вейвлетов. В § 9.3 речь пойдет о разложении -функций с помощью вейвлетов. По причине отсутствия безусловного базиса в вейвлеты не могут сделать невозможного, но они все же справляются с задачей лучше, чем разложение Фурье. Наконец, § 9.4 указывает на интересное различие между разложением по вейвлетам и разложением Фурье.

9.1. Вейвлеты: безусловный базис для ...

Начнем с доказательства теоремы о разложении Кальдерона-Зигмунда.

Теорема 9.1.1. Предположим, что — положительная функция из Зафиксируем Тогда можно разложить следующим образом:

2. На «хорошем» множестве имеем .

3. «Плохое» множество В можно записать в виде где — неперекрывающиеся интервалы, и для всех к

Доказательство.

1. Выберем чтобы . Следовательно, Так определяется первое разбиение

2. В этом первом разбиении возьмем интервал Разобьем его на две половинки: Возьмем любую из них, назовем и вычислим Если то поместим в мешок с интервалами, составляющими В. На самом деле мы имеем

Если то продолжаем (деление пополам и т. д.), если необходимо, до бесконечности. То же самое делаем с другой половиной и другими интервалами . В конце мы имеем мешок со счетным числом «плохих» интервалов, все они удовлетворяют уравнению, помещенному в начале этой страницы. Их объединение назовем В, а дополняющее множество —

3. В силу построения В мы находим, что для любого существует бесконечная последовательность все меньших и меньших интервалов таких, что для каждого и . На самом деле для каждого и Поскольку «сжимаются» до х, то почти наверняка.

Поскольку левая часть а по построению,

Заметим, что выбор автоматически предполагает все интервалы из этого доказательства диадическими, т. е. вида для некоторых

Теперь определим операторы Кальдерона-Зигмунда и докажем классическое свойство.

Определение. Оператором Кальдерона-Зигмунда Г на I является интегральный оператор

ядро которого удовлетворяет неравенствам

а сам оператор ограничен на

Теорема 9.1.2. Оператор Кальдерона - Зигмунда также ограничен при действии из

Пространство в этой теореме определено следующим образом.

Определение. если существует такая что для всех

Точная нижняя грань всех С, для которых выполняется (9.1.4) (для всех иногда называют

Примеры.

1. Если то (9.1.4) выполняется автоматически. На самом деле, если то

откуда

2. лежит в поскольку Однако не принадлежит если

Название оправдывается этими примерами: расширяет и содержит функции для которых «просто» не конечен из-за логарифмических особенностей в первообразной

Теперь мы готовы доказать теорему.

Доказательство теоремы 9.1.2.

1. Мы хотим оценить Начнем с разложения Кальдерона-Зигмунда для К и функции с порогом а. Теперь определим

Тогда п. в., откуда Следовательно, а возможно лишь, если выполняется неравенство или (или оба одновременно). Следовательно,

Таким образом, теорема будет доказана, если каждый из членов в правой части (9.1.5) ограничен числом

2. Мы имеем

потому что — ограниченный оператор на Более того,

Совмещая это с (9.1.6), получаем

3. Теперь сосредоточимся на изучении Для каждого к мы определим теперь новые интервалы «вытянув» имеет тот же центр что и а длину вдвое больше. Затем определим Теперь

тогда

4. Осталось оценить Мы имеем

5. Для оценки последнего интеграла мы разделим различные вклады в Определим с помощью

Тогда п. в., поскольку не перекрываются. Следовательно,

— это центр мы можем вставить этот дополнительный член, потому что

Разницу можно оценить, используя оценку для частной производной по второй переменной:

Подстановка в (9.1.10) дает

что вместе с (9.1.7), (9.1.8) и (9.1.9) доказывает теорему.

Зная, что Т — отображение из и из мы можем распространить Т на другие -пространства с использованием интерполяционной теоремы Марцинкевича.

Теорема 9.1.3. Если оператор Т удовлетворяет неравенствам

где существует такая константа К, зависящая от и что

Здесь обозначает пространство функций для которых конечна величина

Эта теорема примечательна тем, что, требуя лишь слабые оценки для двух крайних значений, она, тем не менее, дает оценки на -нормы (не ) и для промежуточных значений Доказательство этой теоремы выходит за пределы данной главы. Доказательство более общей версии можно найти у Стейна и Вайса в [168]. Из интерполяционной теоремы Марцинкевича следует, что ограниченности отображения доказанной в теореме 9.1.2, достаточно для выведения ограниченности отображения для

Теорема 9.1.4. Если интегральный оператор Т с ядром К удовлетворяет (9.1.2) и (9.1.3) и ограничен при действии из то Т продолжается до ограниченного оператора из для всех

Доказательство.

1. В теореме 9.1.2 доказывается, что Т ограниченно действует из По теореме Марцинкевича Т продолжается до ограниченного оператора, действующего из для

2. Для значений мы используем оператор Т, сопряженный к Т, определенный по формуле:

Ему соответствует ядро которое также удовлетворяет условиям (9.1.2) и (9.1.3). На этот оператор в точности является сопряженным в -смысле оператором Т, поэтому он ограничен. Из теоремы 9.1.2 следует, что Т ограниченно действует из и отсюда по теореме 9.1.3 он ограниченно действует из для Поскольку для оператор является сопряженным к то Т ограничен для Более точно для читателей, не знакомых с сопряжением на банаховых пространствах:

(Строго говоря, смена порядка интегрирования в третьем равенстве не разрешена для всех но мы можем ограничиться плотным подпространством, в котором таких проблем нет.)

Теперь можем применить этот результат для доказательства того, что если имеет некоторое убывание и некоторую регулярность и если образуют ортонормированный базис для то также снабжают пространство безусловными базисами. Поэтому нам нужно доказать (см. предварительные сведения), что

для любого выбора если известно, что

Мы будем предполагать, что непрерывно дифференцируема и обе функции убывают быстрее, чем

Тогда для влечет вследствие ортонормированности Так мы хотим показать, что при любом выборе оператор определенный формулой

является ограниченным оператором из Мы уже знаем, что ограниченно действует из поскольку

тогда -ограниченность будет следовать из теоремы 9.1.3, если мы сможем доказать, что — это интегральный оператор с ядром, удовлетворяющим (9.1.2), (9.1.3). Это составляет утверждение следующей леммы.

Лемма 9.1.5. Выберем и определим

Тогда существует такая что

и

Доказательство.

Найдем чтобы выполнялись условия Разобьем суммирование по на две части:

2. Из того, что сумма равномерно ограничена для всех значений мы имеем

3. Часть доказательства для немного сложнее.

Найдем чтобы выполнялось ко и положим Тогда

аналогично,

Следовательно, для выполняется неравенство

так что

Следовательно,

4. Чтобы оценить напишем

и, придерживаясь той же техники, без труда получаем

Из рассуждений, предшествовавших лемме, следует, что мы доказали теорему.

Теорема 9.1.6. Если из и если образуют ортонормированный базис для , то также образуют безусловный базис для всех -пространств,