Глава 10. Обобщения и трюки для ортонормированных базисов вейвлетов

Эта глава состоит из обобщений и расширений ранее приведенных конструкций. Они не рассматриваются так же детально, как это делалось в предыдущих главах. Некоторые из тем по-прежнему находятся в развитии, и я предполагаю, что любое подробное описание через два года будет выглядеть совсем по-другому. Сюда включены многомерные вейвлеты с параметром сжатия, равным 2, определенные с помощью тензорного произведения кратномасштабных анализов или с помощью несепарабельных схем; ортонормированные базисы с параметром сжатия, отличным от 2, целым или нецелым; «трюк с расщеплением» для лучшей частотной разрешимости (фактически, просто частный случай «вейвлет-пакетов» Койфмана и Мейера); базисы вейвлетов на интервале.

10.1. Многомерные базисы вейвлетов с параметром сжатия 2

Для простоты рассмотрим лишь двумерный случай, для более высоких размерностей ситуация аналогична. Одним из простейших способов построения ортонормированного базиса для при наличии ортонормированного базиса вейвлетов является взятие тензорного произведения функций, порожденных двумя одномерными базисами:

Полученные функции и в самом деле будут вейвлетами, — ортонормированным базисом в . В этом базисе сжатие происходит раздельно по переменным

Существует и другая конструкция, представляющая интерес для многих приложений, в которой сжатия в полученном ортонормированном базисе вейвлетов контролируют обе переменные одновременно.

В этой конструкции вместо произведения соответствующих базисов вейвлетов рассматривается тензорное произведение двух одномерных кратномасштабных анализов. Более точно, определим пространства

Тогда образуют цепочку в вида

с условием, что

Поскольку образуют ортонормированный базис для функции-произведения

образуют ортонормированный базис в образованный единственной функции Ф. Аналогично,

образуют ортонормированный базис в Как и в одномерном случае, для каждого мы определим пространства ортогональные дополнения до Имеем

Следовательно, состоит из трех частей с ортонормированными базисами, заданными с помощью и (для Так мы приходим к определению трех вейвлетов

Рис. 10.1. Схематическое представление повторяющейся низко- и высокочастотной фильтрации по строкам и столбцам при разложении по двумерным вейвлетам

(г, в, д обозначают «горизонтальный», «вертикальный» и «диагональный», соответственно, см. ниже). Тогда

будет ортонормированным базисом в , а

будет ортонормированным базисом в .

Если в этой конструкции первоначально одномерные имеют компактный носитель, то, очевидно, это справедливо для Ф и Более того, как это объяснялось в § 5.6, интерпретация разложения по такому ортонормированному базису вейвлетов с компактным носителем в терминах субполосной фильтрации приводит к двумерной ситуации. Фильтрацию можно произвести по строкам или по столбцам двумерного массива, соответствующим, например, горизонтальному или вертикальному направлениям на картинке. Для размерности 2 рисунок 5.8 превращается в схематическое представление на рисунке 10.1. Величины в точности соответствуют коэффициентам вейвлетов где Горизонтальные края объектов изображения проявляются в вертикальные — в диагональные — в что иллюстрируется помещенным ниже примером, который оправдывает употребление индексов Заметим, что если изначально изображение задано массивом то (оставляя в стороне краевые

Рис. 10.2. Схематическое представление визуализации двумерного вейвлет-преобразования с рисунка 10.3

эффекты, см. также § 10.6) каждый массив состоит из элементов и, таким образом, может быть представлен изображением, в котором величина коэффициентов соответствует оттенку серого цвета, по размеру в четыре раза меньшим, чем изначальный. Всю схему можно представить так, как это сделано на рисунке 10.2. Конечно, можно раскладывать и далее, если желательно иметь больше слоев разрешения. На рисунке 10.3 приведена схема разложения с трехслойным разрешением для конкретного изображения.

Все это относится к двумерным схемам, имеющим структуру тензорного произведения. Можно также рассмотреть случай, в котором все начинается с двумерного кратномасштабного анализа (в котором удовлетворяют всем очевидным обобщениям (5.1.1)- (5.1.6)), где не является тензорным произведением двух одномерных пространств Некоторые (но не все!) конструкции, сделанные в одномерном случае, можно повторить и для этой ситуации. Более точно, кратномасштабная структура предполагает, что соответствующая масштабирующая функция Ф удовлетворяет уравнению

для некоторой последовательности . В силу ортонормированности Для тригонометрического полинома

(кликните для просмотра скана)

выполняется равенство

Чтобы построить ортонормированный базис вейвлетов, соответствующий этому кратномасштабному анализу, нужно найти такие три вейвлета из ортогональные чтобы три пространства, натянутые на их соответствующие целые сдвиги, были ортогональными. Более того, должны также быть ортонормированными для каждого фиксированного . Это влечет

где выбраны так, чтобы матрица

являлась унитарной. Анализ, приводящий к этому условию, полностью сходен с анализом для одномерного случая из § 5.1 (см. Мейер [142], § III.4).

Заметим, что число вейвлетов, подлежащих нахождению, определяется с помощью небольшой хитрости. Например, для двумерного случая порождается сдвигами одной функции относительно Пространство порождается сдвигами относительно или, что то же, четырех функций Таким образом, «в четыре раза больше», чем . С другой стороны, каждое из пространств порождается единственной функции , следовательно, является «одного размера» с Отсюда получаем, что необходимы три четыре минус один) пространства (и три вейвлета чтобы дополнить до Это правило, может быть, звучит как «объяснение на пальцах», но мы можем перефразировать (и доказать) его в более математической форме: число вейвлетов равняется числу различных смежных классов (отличных от самого подгруппы в группе

В общем -мерном случае по тому же правилу получаем, что необходимо определять различных функций Они должны быть такими, чтобы -мерная матрица

являлась унитарной; в ней

На самом деле унитарность для (10.1.4) или (10.1.5) требуется для хитроумного баланса: находятся такими, чтобы первая строка (10.1.4) имела единичную норму, что выглядит достаточно безобидно. Но одновременно нам нужна ортогональность с другими строками и между ними, в то время как они являются сдвигами (по или С) первой строки. На практике бывает трудно разобраться с этими соотношениями между строками. Полезно для начала распутать их, что можно сделать через так называемое полифазное разложение (polyphase decomposition). Напишем, например,

определяются точно так же по Легко проверить, что (10.1.3) эквивалентно условию

Аналогично, все другие условия, обеспечивающие унитарность (10.1.4), могут быть переписаны в терминах Находим, что необходимым и достаточным условием унитарности (10.1.4) является унитарность полифазной матрицы

Для размерности точно так же определяется

и унитарность эквивалентна унитарности полифазной матрицы определенной с помощью соотношений

Таким образом, конструкция сводится к вопросу: можно ли для заданного то (из (10.1.1), (10.1.2)) найти чтобы (10.1.6) была унитарной? В двумерном случае, при условии, что — вещественный тригонометрический полином, можно даже обойтись без полифазной матрицы: легко проверить, что выбор делает (10.1.4) унитарной. Если то — не вещественный, то ситуация намного сложнее. На первый взгляд задача кажется даже не выполнимой в общей -мерной ситуации, когда (10.1.7) становится матрицей порядка помимо прочего, нам нужно найти единичные векторы, зависящие непрерывным образом от (а именно, со второго по последний столбцы (10.1.7)), ортогональные единичному вектору (первому столбцу (10.1.7)), т. е. касательные к единичной сфере. Однако хорошо известно, что «сферу причесать невозможно», т. е. не существует непрерывного не обращающегося нигде в ноль векторного поля, касательного к единичной сфере за исключением вещественных размерностей 2, 4 или 8. Первый столбец из (10.1.7) не описывает сферу полностью. На самом деле являясь непрерывной функцией переменных в -мерном пространстве, он лишь описывает компактное множество меры ноль. Это спасает положение и делает возможным построение что показывает Грошениг в [86], см. также § 111.6 в [142]. Доказательство Грошенига не является конструктивным; другое, конструктивное доказательство приводит Виал в [181]. К сожалению, эти конструкции не могут обеспечить компактности носителя даже если то — тригонометрический полином (с конечным числом не обязательно будут такими же.