3.3.4. Некоторые вариации базовой схемы

Итак, мы не ограничили значения ничем, кроме требования Однако на практике очень удобно иметь Тогда переход

Рис. 3.2. Частотно-временная решетка для схемы с четырьмя голосами. В этом случае различные голосовые вейвлеты предполагаются сдвигами одной функции . Если (которую мы предполагаем четной) имеет пики в окрестности , то сосредоточены возле

от одного масштаба к другому означает удваивание или деление пополам шага сдвига, что намного удобнее, чем использование другого . С другой стороны, мы только что видели, что удобно иметь дело с фреймами, для которых Поскольку наши оценки (3.3.11), (3.3.12) для А, В дают

для всех , тогда эти два требования означают, что сумма является почти постоянной для , а это очень строгое

ограничение на в общем случае не выполняемое. Например, мексиканская шляпа, функция порождает фрейм с отношением которое близко 1 при но, определенно, не при потому что амплитуда осциляций является слишком большой. Чтобы исправить это положение, не слишком отказываясь от свободы при выборе и ее ширины в частотной области, мы можем позаимствовать метод, использованный Гроссманом, Кронландом-Мартином и Морле, и использовать различные «голоса» (voices) для октавы (octave). Это подразумевает использование нескольких различных вейвлетов, и рассмотрение фрейма Можно повторить анализ из § 3.3.2 (см., например, Добеши приводящий к следующим оценкам для границ этого многоголосого фрейма:

где

и

Выбрав с разбросанными поблизости центрами частотной локализации, быстро убывающие на можно получить . (См. примеры в § 3.3.5.) Частотно-временная решетка, соответствующая такой многоголосой схеме, слегка отличается от рисунка 1.4 а. На рисунке 3.2 приведен пример с четырьмя голосами для октавы. Для каждого шага сжатия мы находим четыре различных уровня частоты (соответствующие четырем различным частотным локализациям

сдвинутые на один и тот же шаг. Такая решетка выглядит как суперпозиция четырех различных решеток типа той, что представлена на рисунке 1.4 а, по-разному вытянутых в направлении частот. Каждая из четырех подрешеток имеет свою «плотность», что отражается в том факте, что обычно имеют разные -нормы. Излюбленным выбором Гроссмана, Кронланда-Мартина и Морле являются «дробно» сжатые версии одного вейвлета

(Заметим, что они на самом деле имеют разные -нормы!) В этом случае становится просто , а этот ряд можно легко сделать почти постоянным, выбрав достаточно большое

Выбор также позволяет модифицировать технику получения оценок из § 3.2, что может быть полезным во многих примерах. Теперь вернемся к оценке для . Мы можем переписать к как , где соответствие к является однозначным. Если а можно перегруппировать различные члены и записать

Это дает

где

Эти оценки получены Чамичаном. (Все подробности их вывода можно найти в работе Добеши [54].) Заметим, что в отличие от по-прежнему содержит фазы . В результате оценки (3.3.21), (3.3.22) зачастую являются лучше, чем (3.3.11), (3.3.12), если — не положительная функция. Если — положительная, то (3.3.11), (3.3.12) могут быть лучше. Оценки (3.3.21), (3.3.22) выполняются, если мы имеем только один голос на октаву. Конечно, они могут быть распространены на многоголосый случай.