10.3. Базисы вейвлетов с матричными сжатиями в многомерном случае

Здесь обобщаются § 10.1 и § 10.2: кратномасштабные пространства будут подпространствами а базовым сжатием — матрица с целочисленными элементами (так что все собственные значения которой по абсолютной величине превосходят 1 (тогда мы в самом деле производим сжатия во всех направлениях). Число вейвлетов вновь определяется числом смежных классов для Вновь вводятся то, и условия ортонормированности опять можно сформулировать как требование унитарности матрицы, построенной из то, Анализ таких случаев матричного сжатия несколько труднее, чем в одномерном случае с параметром 2, и, в зависимости от выбора матрицы, появляется несколько сюрпризов. Одним из таких сюрпризов будет то, что обобщение базиса Хаара (т.е. выбор то, в котором все ненулевые коэффициенты равны между собой) во многих случаях приводит к функции являющейся характеристической функцией некоторого самоподобного множества с фрактальной границей, разбивающей плоскость. В двумерном случае, где, например, обнаруживается, что может быть характеристической функцией множества в виде сдвоенного дракона (twin dragon set), как показано Грошенигом и Мадичем в [88] и Лоутоном и Резниковым в [123]. Заметим, что такие фрактальные рисунки могут возникнуть даже для если то

выбирается «не каноническим» образом (например, в случае двух переменных (см. Грошениг, Мадич [88]). Для более сложных то (коэффициенты не равны между собой) проблемой становится контроль регулярности. Нулевые моменты не приводят к факторизации то в случае многих переменных (поскольку для факторизации полинома от многих переменных недостаточно знать его нули), и приходится прибегать к другим трюкам, чтобы контролировать убывание

Особенно интересный случай задается «решеткой с шахматной структурой» (quincunx lattice), т.е. для размерности два. В этом случае существует лишь один смежный класс, а значит, и один вейвлет, который необходимо построить, тогда выбор столь же очевиден, как это было с параметром сжатия 2 в одномерном случае. Условия на сводятся к требованию унитарности матрицы порядка

Удобно выбрать

Заметим, что любой ортонормированный базис с параметром сжатия 2 в одномерном случае порождает пару претендентов на роль для шахматной схемы: достаточно взять одномерный фильтр). Однако можно выбрать различными способами. Два варианта, подробно изучены Коэном и Добеши в [40], Ковачевич и Веттерли в [113]. Один и тот же выбор то приводит к весьма различающимся базисам вейвлетов для двух этих матриц. В частности, если фильтр то находится с помощью объясненного выше механизма среди «стандартных» одномерных вейвлет-фильтров из § 6.4, то получаемые имеют возрастающую регулярность (показатель регулярности пропорционален если выбрана . В то же время выбор приводит к которые в лучшем случае являются непрерывными вне зависимости от Выбор других может привести к уже другим семействам с отличающимися свойствами регулярности. Можно, конечно, построить два ортогональных базиса вместо одного ортонормированного базиса (см. § 8.3).

Несколько возможностей выбора изучены в [40] и [113]. В этом биортогональном случае снова можно получить фильтры из одномерных конструкций. Если начать с пары симметричных биортогональных фильтров в одномерном случае, для которого все фильтры являются полиномами по то достаточно заменить на в каждом фильтре, чтобы получить пары симметричных биортогональных фильтров для случая с шахматной структурой. В силу симметрии этих примеров матрицы приводят к тем же функциям Снова получается, что возможно построение биортогональных базисов с произвольно высокой регулярностью (см. Коэн, Добеши [40]). Случай с шахматной структурой представляет интерес при обработке изображений потому, что различные направления рассматриваются более однородно, чем в случае раздельной (с использованием тензорного произведения) двумерной схемы: вместо двух излюбленных направлений (горизонтального и вертикального) схемы с шахматной структурой рассматривают направления по горизонтали, вертикали и диагонали как равноправные, не внося при этом избыточности. Первые схемы субполосной фильтрации с шахматной структурой без искажений, но и без точного восстановления (которое к тому времени не было получено даже в одномерном случае), приведены Веттерли в [177]. В работе Фово [78] содержатся описания ортогональных и биортогональных схем и их связь с базисами вейвлетов. Веттерли, Ковачевич и ле Галл в [180] обсуждают схемы фильтрации с шахматной структурой для идеального восстановления в приложениях для цифрового телевидения. В работе Антонини, Барло, Матью [1] применение биортогональных схем с шахматной структурой в сочетании с векторным квантованием дает замечательные результаты при сжатии изображений.