Глава 1. Что, почему и как в вейвлетах

Вейвлет-преобразование (wavelet transform) является инструментом, разбивающим данные, или функции, или операторы на составляющие с разными частотами, каждая из которых затем изучается с разрешением, подходящим масштабу. Прототипы этой техники появились независимо в чистой математике (формула обращения Кальдерона в работе Кальдерона [28]), физике (когерентные состояния для -группы в квантовой механике, первоначально построенные Аслаксеном и Клаудером в [6]; на их связь с гамильтонианом атома водорода указывает Пол [152]), технике (КЗ фильтры Эстебана и Геланда [76], КЗ фильтры с точным восстановлением Смита и Барнвела [166], Веттерли [178] для цифровой обработки сигнала, вейвлеты Морле [148] для анализа сейсмических данных). Исследования последних пяти лет показали высокую продуктивность синтеза этих различных подходов для всех областей.

1.1. Частотно-временная локализация

Во многих приложениях, имея заданный сигнал (сейчас мы предполагаем, что — непрерывная переменная), интересно знать его частотную характеристику локально во времени. Это аналогично, например, музыкальным обозначениям, которые говорят музыканту, какую ноту частотная информация) брать в данный момент. Обычное преобразование Фурье

также дает представление о частотной характеристике но информация, касающаяся временной локализации, скажем, пиков с высокой частотой не может быть легко извлечена из Временная локализация может быть получена, во-первых, с помощью окон, когда берется

Рис. 1.1. Оконное преобразование Фурье: функция перемножается с оконной функцией и вычисляются коэффициенты произведения Затем процедура повторяется для сдвигов окна

хорошо локализованный кусок и затем выписывается его преобразование Фурье:

Взятие оконного преобразования Фурье является обычной техникой для частотно-временной локализации. Для работающих с анализом сигнала, оно более известно в дискретном варианте, когда и принимают значения , где пробегают , а — фиксированные. Тогда (1.1.1) преобразуется в

Эта процедура схематически представлена на рисунке 1.1: для фиксированного функционалы соответствуют коэффициентам Фурье Если, например, имеет компактный носитель, ясно, что при подходящем выборе коэффициентов Фурье Токп достаточно, чтобы характеризовать, а при необходимости и восстановить Беря другое получим сдвиг «куска» на шаги, кратные , что позволит восстановить по . (Мы обсудим это позже, в главе 3, в более строгих математических терминах.) В анализе сигнала предлагалось много вариантов выбора оконной функции большинство из которых имеют компактный носитель и разумную гладкость. В физике оператор (1.1.1) имеет отношение к когерентным состояниям, ассоциированным с группой Вейля-Гейзенберга (Клаудер

и Скагерстам [111]). В этой связи очень популярным выбором является функция Гаусса Во всех приложениях предполагается хорошо сконцентрированной во времени и в пространстве. Если и сосредоточены возле нуля, то можно интерпретировать как, нестрого говоря, «содержание» в момент и на частоте Оконное преобразование Фурье, таким образом, дает описание на частотно-временной плоскости.