Глава 7. Более подробно о регулярности вейвлетов с компактными носителями

Регулярность вейвлетов Мейера или Батла-Лемарье легко оценить: вейвлет Мейера имеет компактное преобразование Фурье, так что он принадлежит вейвлеты Батла-Лемарье являются сплайнами, более точно, кусочно-постоянными полиномами степени к, имеющими (к — 1) непрерывную производную в узлах. Регулярность ортонормированных вейвлетов с компактными носителями определить труднее. Обычно они имеют нецелый показатель Гёльдера, более того, в некоторых точках они более регулярны, чем в других, что иллюстрируется рисунком 6.3. В этой главе представлен разработанный в течение нескольких последних лет инструментарий для изучения регулярности таких вейвлетов. Все способы опираются на тот факт, что

где лишь конечное число не равняются нулю. Тогда вейвлет как конечная комбинация наследует те же свойства регулярности. Следовательно, предложенные в этой главе методы относятся не только к вейвлетам. Они также применяются в схемах последовательного деления (см. § 6.5). На самом деле некоторые из обсуждаемых здесь методов были разработаны для схем последовательного деления, а не для вейвлетов.

Способы разбиваются на две группы: доказывающие убывание преобразования Фурье и работающие непосредственно с Мы проиллюстрируем работу каждого метода, применяя его к семейству примеров построенных в § 6.4. Оказывается, методы, базирующиеся на использовании преобразования Фурье (коротко, методы Фурье), больше подходят для асимптотических оценок (регулярность растет с ростом в наших примерах). Второй метод дает более точные локальные оценки, но часто более труден в применении.

Ссылки для результатов из этой главы: Добеши [53], Коэн [36] для § 7.1.1; Коэн [36], Коэн и Конзе [37] для § 7.1.2; Коэн и Добеши [38] для § 7.1.3; Добеши и Лагарис [59], [60], Мичелли и Праутч [146], Дин и Левин [73], Риуль [158] для § 7.2; Добеши [53] для § 7.3.

7.1. Методы Фурье

Преобразование Фурье уравнения (7.0.1) задается формулой

где является тригонометрическим полиномом.

Как мы уже много раз видели, (7.1.1) приводит к произведению

где, как обычно, предполагается, что Более того, можно разложить то на множители

где — тоже тригонометрический полином, и прийти к соотношению

Первый метод основывается на непосредственной оценке роста бесконечного произведения при

7.1.1. Методы грубой силы

Для через определим множество раз непрерывно дифференцируемых функций которых производная непрерывна по Гельдеру с показателем т. е.

Легко проверить хорошо известный факт: если выполняется

то . В частности, если то . Следовательно, если рост из при можно контролировать, то множитель гарантирует гладкость

Лемма 7.1.1. Если то

Доказательство.

1. Поскольку то Следовательно,

2. Возьмем любое при условии, что Существует такое что Тогда

Следовательно,

Следующая лемма показывает, как получить лучшую оценку, использовав несколько

Лемма 7.1.2. Определим

Тогда если , то

Доказательство.

1. Возьмем Тогда где и

Следовательно,

2. Для любого существует такое что . Тогда для мы имеем . Поскольку выбиралось произвольным,

3. Если , то для некоторого Мы можем повторить рассуждения из доказательства леммы 7.1.1, применяя их к произведению

в котором а играет роль двойки в лемме

Это дает оценку откуда Следующая лемма показывает, что в большинстве случаев мы не можем получить лучшего, используя метод грубой силы.

Лемма 7.1.3. Существует такая последовательность что

Доказательство.

1. В силу теоремы 6.3.1 ортонормированность предполагает существование такого компактного множества К, конгруэнтного по модулю Поскольку К конгруэнтно имеет период мы получаем

т.е. существует такое , что . Так как К — компактное множество, являются равномерно ограниченными. Таким образом, мы имеем

2. Более того, поскольку для всех мы имеем оценку

Собирая все вместе, мы находим, что для

В силу (7.1.7)

Поскольку это выражение строго ограничено снизу положительной константой.

Теперь вернемся к семейству построенному в § 6.4, и увидим, как используются эти оценки. Мы имеем

где

Начнем с установления некоторых элементарных свойств

Лемма 7.1.4. Полином удовлетворяет следующим свойствам:

Доказательство.

1. Если то

2. Напомним (см. § 6.1), что — решение уравнения

После подстановки получаем, что Для мы имеем поскольку возрастает. Для применение (7.1.8) приводит к Этим доказывается (7.1.9).

Теперь легко применить леммы 7.1.1 и 7.1.2. Мы имеем

Лемма 7.1.1 позволяет заключить, что являются непрерывными. Графики на рисунке 6.3 показывают, что имеют возрастающую степень регулярности с ростом а это, очевидно, не оптимально! Используя для немедленно приходим к более точным результатам.

Например, мы имеем

(так как ). Если или (что предполагает то в силу (7.1.9). В оставшемся интервале мы имеем

(так как для ). Следовательно,

Асимптотически для больших это дает где Несколько улучшенная оценка может быть получена, если оценить вместо Тогда получается

Заметим, что является неподвижной точкой для отображения тогда для любого к приводит к нижней границе на и верхней границе на регулярность . В терминах значение соответствует уже видели ранее, что значения играют особую роль, поскольку является инвариантным циклом для умножения на 2 по модулю . В следующей части мы увидим, как эти инвариантные циклы могут быть использованы при выводе оценок убывания для