Глава 5. Ортонормированные базисы вейвлетов и кратномасштабный анализ

Первые конструкции гладких ортонормированных базисов вейвлетов выглядели чудом, что иллюстрируется доказательством из § 4.2.А того, что вейвлеты Мейера образуют ортонормированный базис. Ситуация изменилась с появлением понятия кратномасштабного анализа, сформулированного осенью 1986 Малла и Мейером. Кратномасштабный анализ обеспечивает естественную базу для понимания базисов вейвлетов и для построения новых примеров. История формулирования понятия кратномасштабного анализа является прекрасным примером того, как приложения стимулируют теоретические изыскания. Малла впервые услышал о базисах Мейера, работая над анализом изображений, в котором идея изучения изображений одновременно для разных масштабов и сравнения результатов была популярна многие годы (см., например, работы Виткина ([187]), Барта и Аделсона ([27])). Это подвигло его к рассмотрению ортонормированных базисов вейвлетов как инструмента для математического описания «приращения информации», необходимого для перехода от грубого приближения к приближению более высокого разрешения. Такое понимание выкристаллизовалось в концепцию кратномасштабного анализа (Малла [132], Мейер [141]).

5.1. Основная идея

Кратномасштабный анализ состоит из последовательности пространств аппроксимации Более точно, замкнутые подпространства удовлетворяют включениям

где

Если через обозначить оператор ортогонального проектирования на то (5.1.2) гарантирует, что для всех . Существует много цепочек пространств, удовлетворяющих (5.1.1) - (5.1.3), которые не имеют отношения к «кратномасштабности». Кратномасштабность является следствием дополнительного требования

Все эти пространства являются масштабированными версиями центрального пространства Примером пространств удовлетворяющих (5.1.1)-(5.1.4), является

Этот пример мы будем называть кратномасштабным анализом Хаара. (Он связан с базисом Хаара; см. ниже или главу 1.) На рисунке 5.1 показано, как могут выглядеть проекции некоторой функции на пространства Хаара Этот пример также выявляет другое свойство, которое мы требуем от кратномасштабного анализа: инвариантность по отношению к сдвигам на целые числа:

Вместе с (5.1.4) это влечет для всех если . Наконец, мы требуем, чтобы существовала такая, что

где для всех . Вместе (5.1.6) и (5.1.4) приводят к тому, что — ортонормированный базис в для всех . Это последнее требование (5.1.6) выглядит несколько более «надуманным», чем остальные. Ниже мы увидим, что оно может быть значительно ослаблено. В вышеприведенном примере возможным выбором для является характеристическая функция на [0,1]: если в противном случае. Мы часто будем называть «масштабирующей функцией» кратномасштабного анализа.

Основной принцип кратномасштабного анализа таков: для любого набора замкнутых подпространств, удовлетворяющего (5.1.1)-(5.1.6),

Рис. 5.1. Функция и ее проекции на

существует такой ортонормированный базис вейвлетов для , где что для всех из

— ортогональное проектирование на Более того, вейвлет можно сконструировать в явном виде. Посмотрим, как это делается.

Для каждого определим как ортогональное дополнение . Имеем

и

(Если , например, то ) Следовательно, для

в котором все подпространства ортогональны. Ввиду (5.1.2) и (5.1.3) это влечет

что означает разложение на взаимно ортогональные подпространства. Более того, пространства наследуют от свойство масштабирования (5.1.4):

Формула (5.1.7) эквивалентна высказыванию, что для фиксированного семейство образует ортонормированный базис в Имея (5.1.11), (5.1.2), (5.1.3), мы автоматически получаем, что весь набор является ортонормированным базисом для . С другой стороны, (5.1.12) гарантирует, что если — ортонормированный базис в то будет ортонормированным базисом в для любого Так, наша задача сводится к нахождению такой что функции образуют ортонормированный базис в

Чтобы построить выпишем некоторые интересные свойства

1. Поскольку — это ортонормированный базис в мы имеем

где

Мы можем переписать (5.1.13) в виде

либо

сходимость в любой из сумм берется в -смысле. Формула (5.1.16) может быть переписана как

где

Равенство в (5.1.17) выполняется поточечно почти всюду. Как следует из (5.1.14), то — -периодическая функция, принадлежащая

2. Ортонормальность приводит к специальным свойствам для Мы имеем

откуда

Подстановка (5.1.17) дает при

Разбивая суммирование по четным и нечетным используя периодичность то и еще раз применяя (5.1.19), приходим к равенству

3. Теперь охарактеризуем пространство Включение эквивалентно одновременным включениям Так как имеем

где Отсюда

здесь

-периодическая функция из сходимость в (5.1.22) выполняется поточечно п. в. Ограничение влечет для всех к, т. е.

или

откуда

ряды из (5.1.23) сходятся абсолютно в . Подставляя (5.1.17) и (5.1.21), перегруппируя суммы для четных и нечетных I (что разрешено делать ввиду абсолютной сходимости), используя (5.1.19), приходим к

Поскольку то и не обращаются в ноль одновременно на множестве ненулевой меры (ввиду (5.1.20)), то существует такая -периодическая функция что

и

Последнему уравнению можно придать форму

где -периодическая. Подставляя (5.1.27) и (5.1.25) в (5.1.21), имеем

где .

4. Общий вид (5.1.28) преобразования Фурье для предполагает, что мы берем

в качестве кандидата на роль нашего вейвлета. Выпуская из виду вопросы сходимости, можно переписать (5.1.28) как

или

Так что является хорошим кандидатом на роль базиса в Нам нужно проверить, что на самом деле формируют ортонормированный базис для Прежде всего, свойства то и гарантируют, что (5.1.29) действительно определяет -функцию, которая (ввиду вышеприведенного анализа), так что Легко проверить ортонормированность

Теперь

Откуда Для проверки того, что действительно служит базисом для достаточно показать, что любая может быть записана как

где или

где — -периодическая функция и Вернемся снова к (5.1.28). Имеем где Ввиду (5.1.22) получим

С другой стороны, ввиду (5.1.25),

Тогда имеет вид (5.1.30), где — -периодическая функция, интегрируемая с квадратом.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 5.1.1. Если цепочка замкнутых подпространств из удовлетворяет условиям то существует такой ортонормированный базис вейвлетов для что

Одним из возможных вариантов построения является

(то определена с помощью (5.1.18), (5.1.14)), или, что эквивалентно,

(последний ряд сходится в -смысле).

Заметим, что однозначно не определяется цепочкой кратномасштабного анализа и требованием (5.1.31): если удовлетворяет (5.1.31), то это будет выполняться и для любой вида

где - -периодическая и . В частности, мы можем выбрать роегтр, где что соответствует изменению по фазе и сдвигу на для Мы используем эту свободу, чтобы вместо (5.1.32) определить

или

для подходящего выбора Конечно, мы можем взять более общую в (5.1.33), но обычно мы будем придерживаться (5.1.34) или (5.1.35).

Хотя каждый ортонормированный базис вейвлетов, представляющий практический интерес и известный к настоящему времени, связан с некоторым кратномасштабным анализом, можно сконструировать «патологическую» такую, что образуют ортонормированный базис в который не выводится из кратномасштабного анализа. Следующий пример (Журне) позаимствован из работы Малла [132]. Определим

Немедленно получаем Более того, . Согласно критерию Чамичана (3.3.21) - (3.3.22), тоже образуют жесткий фрейм с постоянной фрейма, равной 1, при условии, что

Легко проверить, что имеет меру ноль для всех , к так что (5.1.37) на самом деле выполняется. Тогда из предложения 3.2.1 следует, что образуют ортонормированный базис для

Если связана с каким-нибудь кратномасштабным анализом, то (5.1.29) и (5.1.17) выполняются для соответствующей масштабирующей функции (возможно с дополнительной , из формулы для — см. (5.1.33)). Из (5.1.20) следует, что тогда

что влечет для

С помощью (5.1.36) легко проверить, что

Если бы существовала то, для которой (5.1.17) выполнялось для так определенной мы бы имели . Для . В силу периодичности и для тоже; откуда , то для хотя на этом интервале. Это противоречие доказывает, что такой ортонормированный базис вейвлетов не порождается кратномасштабным анализом. Заметим, что имеет очень плохое убывание. Является открытым вопрос, существует ли «патология» подобного сорта, если потребовать некоторой гладкости от (или убывания от ). Для последующего использования заметим, что в терминах уравнение (5.1.20) может быть

переписано так:

(Это легко получается после явного написания рядов Фурье для )