2.9. Непрерывное вейвлет-преобразование как математический увеличитель: характеристика локальной регулярности

Этот пункт полностью позаимствован из работы Холшнайдера и Чамичана [97], в которой эта техника развивается, в частности, для изучения свойств локальной регулярности недифференцируемой функции Римана.

Теорема 2.9.1. Предположим, что . Если ограниченная функция непрерывна по Гёлъдеру с показателем т. е.

то ее вейвлет-преобразование удовлетворяет оценке

Доказательство.

Поскольку имеем

откуда

Следующее утверждение является обратной теоремой.

Теорема 2.9.2. Предположим, что имеет компактный носитель. Предположим также, что ограничена и непрерывна. Если для некоторого а вейвлет-преобразование функции удовлетворяет оценке

то непрерывна по Гёлъдеру с показателем а.

Доказательство.

1. Выберем непрерывно-дифференцируемую с компактным носителем, для которой Нормируем так, чтобы Тогда по предложению 2.4.2

Разобьем интеграл по а на две части: и назовем эти составляющие (мелкий масштаб) и (крупный масштаб).

2. Прежде всего заметим, что ограничена равномерно по

Далее, рассмотрим при

Так как для некоторого продолжим далее оценку:

Это выполняется для всех Отсюда, с использованием (2.9.2), делаем заключение, что для всех равномерно по Заметим, что мы даже не использовали (2.9.1) в этой оценке: везде регулярна.

3. Часть, соответствующая мелкому масштабу также равномерно ограничена:

4. Таким образом, нам снова нужно рассмотреть только для маленьких таких, что Опять привлекая мы имеем

Отсюда следует, что непрерывна по Гёльдеру с показателем а.

Теоремы 2.9.1 и 2.9.2 показывают, что непрерывность некоторой функции по Гёльдеру можно характеризовать убыванием по а абсолютной величины ее вейвлет-преобразования. (Исключением является когда мы не имеем полной эквивалентности.) Заметим, что для самой мы не предполагаем никакой регулярности: помимо условия убывания мы привлекли только условие (Это условие явно не зафиксировано в теореме 2.9.2, тем не менее, удовлетворяет ему. В противном случае оценка (2.9.1) не выполняется.) Дифференци-руемость функции для высоких порядков и непрерывность по Гёльдеру корректно определенных производных высоких порядков может аналогично характеризоваться убыванием вейвлет-коэффициентов, если имеет больше нулевых моментов: для характеристики и производной непрерывной по Гёльдеру с показателем а, нам нужен вейвлет такой, что для Для каждого такого вейвлета мы имеем при

И снова мы не требовали регулярности

Более всего удивляет в этих характеристиках то, что в них используется только абсолютное значение вейвлет-преобразования. Заметим, что заключение о регулярности также можем вывести из убывания

по абсолютной величины ее оконного преобразования Фурье если оконная функция выбрана достаточно гладкой. В большинстве случаев, однако, значение гёльдеровского показателя, вычисленное по не будет оптимальным. Для получения правильной характеристики следует также привлечь фазу например, через оценки типа оценок Литлвуда-Пэли (см. работу Фразиера, Яверта, Вайса [83]).

Вейвлет-преобразование можно также использовать для характеристики локальной регулярности. Эта информация не может быть извлечена из оконного преобразования Фурье, даже с привлечением сведений о фазе. Две следующие теоремы снова позаимствованы из работы Холшнайдера и Чамичана [97].

Теорема 2.9.3. Предположим, что Если ограниченная функция непрерывна по Гёльдеру в с показателем а , т. е.

то

Доказательство.

После сдвига мы можем предполагать, что . Так как мы опять имеем

Теорема 2.9.4. Предположим, что имеет компактный носитель. Предположим также, что ограничена и непрерывна. Если для некоторого значения

и

то непрерывна по Гёльдеру в с показателем а.

Доказательство.

1. Доказательство начинается так же, как и доказательство теоремы 2.9.2, три первых пункта которого повторяются без изменений с 7, исполняющей роль а в пункте 3.

2. Таким образом, мы должны только рассмотреть при малых После сдвига мы можем предполагать, что Тогда

где мы предположили, что (Если ситуация становится проще.) Обозначим четыре члена из правой части (2.9.4) через

4. Мы используем то, что чтобы получить оценку

5. Аналогично для достаточно маленьких выполняется неравенство

6. Наконец,

Похожие теоремы могут быть доказаны для локальной регулярности высокого порядка. Эти теоремы оправдывают название «математический микроскоп», даруемое вейвлет-преобразованию в некоторых случаях. В [97] Холшнайдер и Чамичан использовали эти и другие результаты для изучения свойств дифференцируемости функции, определяемой рядом Фурье , впервые изученной Риманом.