5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации

Кратномасштабный анализ естественным образом приводит к иерархической и быстрой схеме вычисления вейвлет-коэффициентов данной функции. Допустим, что мы уже вычислили (или имеем заданными) скалярные произведения и для некоторого заданного мелкого масштаба. Произведя масштабирование наших «единиц» измерения (или масштабируя мы можем предполагать, что номер этого уровня равен . Тогда легко вычислить Для Прежде всего, имеем (см. (5.1.34))

где Следовательно,

Отсюда

т. е. скалярные произведения получены с помощью свертки последовательностей с последующим сохранением лишь четных компонент. Аналогично, имеем соотношения

которые можно использовать для вычисления прибегнув к той же операции (свертка с уменьшение вдвое числа членов), зная . Но в силу (5.1.15) мы получаем

откуда

Дальнейшая процедура становится ясной: начав с вычисляем по формуле (5.6.2) и по формуле (5.6.4). Затем вновь можем применить (5.6.2), (5.6.4), чтобы вычислить по и так далее... На каждом шаге мы вычисляем не только вейвлет-коэффициенты на соответствующем уровне, но также и Для того же уровня, что используется при вычислении вейвлет-коэффициентов на следующем уровне.

Весь процесс можно рассматривать как вычисление последовательных приближений и разности между «информацией» на двух последовательных уровнях. С этой точки зрения мы начинаем с самого мелкомасштабного приближения к (напомним, что — ортогональный проектор на ); через обозначим ортогональный проектор на и разложим на где — следующее более грубое приближение в кратномасштабном анализе, — «потери» при переходе . В каждом из пространств мы имеем ортонормированные базисы соответственно, так что

Формулы (5.6.2), (5.6.4) выражают воздействие преобразования на коэффициенты ортогонального

Рис. 5.8. Схематическое представление (5.6.5)

базиса:

Вводя обозначения это можно переписать в виде

Более грубое приближение снова можно разложить где

Мы опять имеем

Схематически это представлено на рисунке 5.8.

На практике мы останавливаемся после конечного числа уровней. Это означает, что мы переписали информацию через и конечное грубое приближение т.е. Поскольку все сделанное является последовательностью преобразований ортогональных базисов, обратная операция задается сопряженными матрицами. Точнее

откуда

(используем (5.6.1), (5.6.3)).

Рис. 5.9. Низкочастотный фильтр (непрерывная линия) и высокочастотный фильтр (разрывная линия)

В цифровой обработке сигнала члены (5.6.5) и (5.6.6) являются шагами анализа и синтеза в схеме субполосной фильтрации (subband filtering scheme) с точным восстановлением. В двухканальной схеме субполосной фильтрации берется свертка входящей последовательности с Двумя фильтрами, низкочастотным (low-pass filter) и высокочастотным (high-pass filter). Затем две полученные последовательности прореживаются, т. е. удерживаются лишь четные (или нечетные) компоненты. Именно это происходит в (5.6.5). Для читателей, незнакомых с терминологией «фильтрации», кратко поясню, что это значит. Любая интегрируемая с квадратом последовательность может быть интерпретирована как последовательность отсчетов функции с полосой ограниченной ширины, для которой (см. главу 2),

или

Операция фильтрации соответствует перемножению и -периодической функции, например,

Результатом является другая функция а 7 с полосой ограниченной

ширины,

или

Фильтр называется низкочастотным, если в основном концентрируется на отрезке высокочастотным, если в основном концентрируется на множестве (см. рисунок 5.9). «Идеальными» фильтрами являются если если если если соответственно. Последовательность (из (5.6.7)) задается формулами

После применения идеального низкочастотного фильтра к 7, получается функция с полосой ограниченной ширины и носителем Такая функция полностью определяется своими значениями на и мы имеем (см. (2.1.2))

Аналогично, результатом применения идеального низкочастотного фильтра к является сдвинутая по частоте версия функции с полосой

ограниченной ширины и носителем Такая функция снова полностью определяется своими значениями на

Поскольку достаточно иметь компоненты с четными индексами свертки чтобы полностью характеризовать имеет смысл после свертки оставить только их. Это является главной причиной прореживания с фактором 2 в субполосной фильтрации, также называемого «децимацией» (downsampling). Восстановление первоначальной по двум последовательностям, полученным после фильтрации и прореживания

не представляет сложности:

Отделяя четные и нечетные находим

Это можно также переписать так:

Последнюю операцию можно рассматривать как результат

• разбавления обеих нулями (т. е. построения новых последовательностей с нечетными нулевыми компонентами и с четными компонентами, заданными последовательными

Рис. 5.10. Схематическое представление этапов разложения и восстановления (отделенных вертикальной разрывной линией) в схеме субполосной фильтрации. Каждая буква в квадратике представляет свертку с соответствующей последовательностью; отвечает уменьшению выборки значений вдвое (остаются лишь четные компоненты), увеличению выборки вдвое (разбавление нулями). В «идеальном» случае . Конечный результат идентичен входному значению

• свертки этих разбавленных upsampled) последовательностей с фильтрами соответственно;

• сложения двух результатов.

Схематически (5.6.8) и (5.6.9) можно представить рисунком 5.10.

Коэффициенты фильтров для идеальных фильтров убывают слишком медленно, чтобы быть использованными. На практике предпочтение отдается схеме с рисунка 5.10, для которой коэффициенты фильтров убывают быстрее. Это можно получить лишь если соответствующие -периодические функции являются более гладкими, чем Это означает, что может появиться наложение спектров: выглядят «округленными» версиями (как на рисунке 5.9), т. е. их носители больше, чем соответственно. Следовательно, не являются истинно ограничеными по (частотной) полосе с максимальной частотой и представление их выборкой значений, как это было сделано, приводит к наложению спектров, что объяснялось в § 2.1. Это должно быть исправлено на этапе восстановления: должны соответствовать для того, чтобы избежать наложения спектров, возникшего после разложения. Но даже такое «соответствие» возможно лишь если уже соответствуют друг другу каким-либо образом. Чтобы найти подходящие условия на эти

фильтры, удобно использовать -обозначения», в которых последовательность представляется формальным рядом

Если на единичном круге, то это ничто другое, как ряд Фурье. В некоторых случаях удобно использовать вместо Этап разложения в схеме субполосной фильтрации на рисунке 5.10 можно записать так:

Здесь — -обозначение для свертки равняется формальной последовательности т.е. из которой изъяты все нечетные компоненты.

Этап восстановления представляется как

где — -обозначение для удвоенной выборки (куда были помещены нули: Общий эффект таков:

В этом выражении второй член содержит эффекты наложения спектров: соответствует сдвинутому на ряду Фурье Именно этого следует ожидать от наложения спектров, поскольку выборка взята с частотой, вдвое меньшей частоты Найквиста (Nyquist rate). Таким образом, чтобы избавиться от наложения спектров, нам нужно иметь

Первые схемы субполосного кодирования без наложения спектров восходят к работе Эстебана и Геланда [76]. В их работе, как и в большинстве схем, которые будут рассмотрены в этих заметках, последовательности являются вещественными. Они выбрали

при этом (5.6.11) на самом деле выполняется, а (5.6.10) упрощается до выражения

Если — симметричная, то «зеркало» по отношению к «полуполосному» значению вследствие того, что Таким образом, фильтры, выбранные в соответствии с (5.6.12), называются «квадратурными зеркальными фильтрами» (КЗФ, quadrature mirror filters). На практике работают с КИХ-фильтрами (КИХ, finite impulse response, конечная импульсная характеристика; это означает, что лишь конечное число является ненулевыми). К сожалению, не существует КИХ-фильтра для которого так что с не может быть идентичным с в этой схеме. Тем не менее, можно найти для которого близко 2, так что значение схемы на выходе близко значению на входе. К настоящему времени существует обширная литература по конструированию различных см. номера IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process, за последние 15 лет. Также существует много обобщений с разделением больше, чем на 2 полосы — обобщенный КЗФ, generalized quadrature mirror filters).

Минтцер ([147]), Смит и Барнвел ([166]), Веттерли ([178]) предложили схему, отличающуюся от (5.6.12):

Легко проверить, что (5.6.11) снова выполняется, а (5.6.10) превращается в

Для и вещественных выражение в квадратных скобках превращается в . Среди множества КИХ-фильтров существуют для которых оно равняется 1. Значит, мы получаем точное восстановление по схеме субполосной фильтрации. Смит и Барнвел ([166]) назвали фильтры, выбранные в соответствии с (5.6.13), сопряженными квадратурными фильтрами (СКФ, conjugate quadrature filters), но этот термин не стал столь же популярен, как КЗФ.

Рис. 5.11. Схема субполосной фильтрации для одного шага «разложение + восстановление» в кратномасштабном анализе

И последнее замечание, прежде чем мы вновь вернемся к вейвлетам. В целом, субполосная фильтрация используется, конечно, не просто для разложения и восстановления: простой телеграф вместо схемы на рис. 5.10 был бы более эффективен и дешев. Целью игры является сжатие или обработка между этапами разложения и восстановления. Во многих приложениях (анализ изображений, например) сжатие после субполосной фильтрации более осуществимо, чем в отсутствии фильтрации. Восстановление после применения таких схем сжатия (квантование) не идеально, однако существует надежда, что с помощью специально сконструированных фильтров искажение вследствие квантования можно сделать малым, при этом достигнув значительного коэффициента сжатия. Мы вернемся к этому (хотя и вкратце) в следующей главе.

И опять об ортонормированных базисах вейвлетов. Формулы (5.6.5), (5.6.6) имеют в точности ту же структуру, что и (5.6.8), (5.6.9), соответственно. Переход от одного уровня в кратномасштабном анализе к следующему более грубому приближению и соответствующему уровню вейвлетов и, затем, обратный переход могут быть представлены диаграммой, сходной с рисунком 5.11. Здесь (см. выше). Если предположить вещественными и принять в рассмотрение, что то мы можем отождествить рисунок 5.11 и рисунок 5.10, выбрав

С точностью до тривиальной замены знаков в это соответствует (5.6.13). Это означает, что каждый ортонормированный базис

вейвлетов, связанный с кратномасштабным анализом, дает начало паре СКФ, т. е. схеме субполосной фильтрации с точным восстановлением. Обратное не верно: при построении ортонормированного базиса мы обязательно имеем (см. замечание 5 в конце § 5.3.2), однако существуют СКФ, для которых близко , при этом точное равенство не достигается. Более того, все рассмотренные нами примеры ортонормированных базисов соответствуют с бесконечным носителем и, значит, последовательностям с бесконечным числом ненулевых членов. В приложениях КИХ-фильтры более предпочтительны. Возможно ли построить ортонормированные базисы вейвлетов, соответствующие конечным фильтрам? Что для этих фильтров означает соответствие, например, регулярным вейвлетам? Как можно использовать вейвлеты в контексте фильтрации? Все это составляет вопросы, адресованные следующей главе.