8.3.4. Симметрия

Преимущество биортогональных базисов над ортонормированными состоит в симметричности обоих полиномов то, Если фильтр, соответствующий то, имеет нечетное число отводов и симметричен, т.е. то то можно записать так:

где — полином. Следовательно, то можно выбрать в таком же виде

где — любой полином, удовлетворяющий соотношению

Тогда мы действительно имеем

то же, что и в (8.3.5). Полиномы решения (8.3.21), могут быть найдены, лишь если не имеют общих нулей. Если это так, то всегда существуют точные решения по теореме Везу (см. § 6.1). Заметим, что это существенно облегчает построение биортогональных базисов в сравнении с ортонормированным случаем: нам нужно лишь решить линейные уравнения, чтобы найти удовлетворяющий (8.3.21) для фиксированного вместо проведения спектральной факторизации, необходимой в § 6.1.

Если фильтр, соответствующий то, имеет четное число отводов и симметричен (как, например, фильтр Хаара), то то удовлетворяет соотношению Отсюда

Тогда можно снова выбрать то того же типа

уравнение (8.3.22) превратится в уравнение

это означает, что является решением существующей задачи Безу

где

Примеры.

Все приведенные здесь примеры имеют и симметрию, и некоторую регулярность. Тригонометрические полиномы то и то будут иметь вид (8.3.19), (8.3.20) или (8.3.23), (8.3.24), в которых делятся на для некоторого Поскольку мы имеем дело с полиномами от значение I автоматически будет четным; Следовательно, мы ищем вида

если число отводов четное (мы предположили, что т. е. что симметричны относительно 0), или вида

если число отводов нечетное (снова взяли что соответствует . В обоих случаях подстановка в (8.3.22) дает

где в первом случае, во втором случае. Если определим то (8.3.25) сводится к уравнению

уже встречавшемуся в § 6.1. Все решения (8.3.26) даются формулой

где — нечетный полином (см. предложение 6.1.2). Теперь приведем три семейства примеров, полученных при различном выборе и различных разложениях Р на до и

Пример сплайнов. Здесь мы берем Следовательно, или . Тогда — это -сплайн с центром в 0, соответственно . В первом случае мы имеем для

во втором случае для

В обоих случаях мы свободно выбираем I при условии, что собственное значение 1 для простое, а его собственный вектор соответствует строго положительному тригонометрическому полиному (см. § 8.4.2). Результатом будет семейство биортогональных базисов, в которых — сплайн с компактным носителем. Для каждого заранее заданного порядка этого сплайна (т. е. фиксированного I) существует бесконечно много I, соответствующих различным (с растущей шириной носителя) и различным с возрастающим числом нулевых моментов. Заметим, что полностью определяется лишь одним хотя то, а значит и одновременно, зависит от и Мы изобразили графики функций

и для нескольких первых значений на рисунках рисунке на рисунке на рисунке Соответствующие фильтры приведены в таблице 8.2. Во всех этих случаях выполнены условия, полученные в § 8.4.2. Неожиданной особенностью рисунков 8.5-8.7 явилось то, что, начиная с некоторого момента, форма не меняется с ростом (при фиксированном Видно, что «морщинистость» соответствующих сглаживается с ростом

Функции и впервые были построены Чамичаном в [171] как пример пары двойственных вейвлет-базисов с очень разными свойствами регулярности. Здесь они представляют первый неортонормированный пример из описанного семейства дает базис Хаара). Как и в ортонормированном случае, в этих примерах обе могут иметь произвольно высокую регулярность. Будучи сплайном, является кусочным полиномом порядка принадлежащим в узловых точках. Регулярность можно оценить с помощью любой техники из главы 7. Асимптотически для больших находим, что если Эти примеры сплайнов имеют несколько замечательных особенностей. Первое, все коэффициенты фильтра — диадические рациональные. Поскольку деление на 2 производится на компьютере очень быстро, это делает их весьма подходящими для быстрых вычислений. Другим привлекательным свойством являются точные и явные выражения для функций во всех х, в отличие от ранее встреченных ортонормированных вейвлетов с компактными носителями. Их недостатком является ощутимая разница в длине то и то (см. таблицу 8.2), которая находит отражение в очень различающейся ширине носителей Определяясь обеими то и то, вейвлеты всегда имеют ширину носителя, задаваемую средним значением длин фильтров то, то минус 1. Большая разница в длинах фильтров то, то может быть неприятностью для таких приложений, как анализ изображений.

Примеры с менее несоразмерными длинами фильтров.

Даже если мы по-прежнему возьмем можно найти то и то с близкими длинами фильтров, выбрав подходящее разложение на Для фиксированного существует

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 8.6. (см. скан) Продолжение

ограниченное число разложений. Один из методов их нахождения — это использование в очередной раз спектральной факторизации. Мы определяем все нули Р (вещественные и пары комплексно-сопряженных нулей), чтобы записать этот полином в виде произведения вещественных

(кликните для просмотра скана)

Рис. 8.7. (см. скан) Продолжение

полиномов первого и второго порядков

Таблица 8.2. (см. скан) Вид для нескольких первых значений здесь Соответствующие коэффициенты фильтров получены умножением коэффициентов при функций на V% соответственно. Заметим, что всегда симметричны, для очень длинных мы приводим лишь половину коэффициентов (остальные выводятся с использованием симметрии).

Перегруппировка этих множителей приводит ко всем возможным В таблице 8.3 даны коэффициенты то, то для трех примеров

Таблица 8.2. (см. скан) Продолжение

такого типа при . (Заметим, что — наименьшее значение, для которого возможно нетривиальное разложение такого типа с вещественными ) Для разложение единственно, для таких возможностей две. В обоих случаях мы выбрали , чтобы разница длин для то, то была по возможности меньшей. Соответствующие вейвлеты и масштабирующие функции приведены на рисунках 8.8 и 8.9. Во всех случаях выполняются условия из § 8.4.2.