8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов

Ранее упоминалось, что специалистам по субполосному кодированию хорошо известна несовместимость симметрии и точного восстановления, если при разложении и восстановлении используются одни и те же КИХ-фильтры. Как только опускается последнее требование, симметрия становится достижимой. Это означает, что блочная диаграмма на рисунке 5.11 заменяется рисунком 8.4. Естественно, возникает несколько вопросов: что обозначает рисунок 8.4 в терминах кратномасштабного анализа? Для чего использованы (В главе 5 они были коэффициентами ортогонального проектирования.) Есть ли соответствующий базис вейвлетов? Насколько он отличается от построенных ранее базисов? Ответ таков, что при выполнении определенных технических условий на фильтры, такая схема соответствует двум двойственным базисам вейвлетов, относящимся к двум различным кратномасштабным цепочкам. В этой части мы увидим, как это доказывается, и приведем несколько семейств (симметричных!) вейвлетов. За исключением уточненных рассуждений Коэна и Добеши из [38], все результаты помещены в работе Коэна, Добеши и Фово [41]. Много аналогичных примеров получено независимым образом в работе Веттерли и Херли [179], где видение проблемы представлено с точки зрения «дизайна фильтров».

8.3.1. Точное восстановление

Поскольку теперь у нас четыре фильтра вместо двух, мы должны записать (5.6.5), (5.6.6) так:

Рис. 8.4. Схема субполосной фильтрации с точным восстановлением, при которой фильтр восстановления отличается от фильтра разложения

и

В z-обозначениях, введенных в § 5.6, это можно переписать в виде

Следовательно, мы требуем

где предполагаются полиномами, потому что мы используем лишь КИХ-фильтры. (Для простоты термин «полином» используется в несколько более широком смысле, чем обычно: допустимы отрицательные степени. Другими словами, функции в таком понимании являются полиномами.) Из (8.3.1) следует, что имеют общих нулей. Тогда (8.3.2) влечет

для некоторого полинома Подстановка в (8.3.1) приводит к соотношению

Единственными полиномами, делящими постоянные, являются одночлены. Отсюда

для некоторых и (8.3.3) превращается в

а и к могут быть любыми. Мы же возьмем чтобы сделать уравнения (8.3.4) для и симметричными. Подстановкой в (8.3.1) мы получаем

В терминах коэффициентов фильтров мы имеем

где все коэффициенты неявно предполагаются вещественными. Эти уравнения являются очевидным обобщением (5.1.39), (5.1.34).