5.4. Другие примеры: семейство Батла-Лемарье

Вейвлеты Батла-Лемарье связаны с цепочками кратномасштабного анализа, состоящими из пространств функций-сплайнов. В каждом случае в качестве изначальной масштабирующей функции мы берем -сплайн с узлами в целых числах. Выбирая в качестве кусочно-постоянный сплайн

мы придем к базису Хаара.

Следующим примером является кусочно-линейный сплайн

изображенный на рисунке 5.4 а. Функция удовлетворяет уравнению ; см. рисунок 5.46. Его преобразованием Фурье является функция

Рис. 5.4. Кусочно-линейный В-сплайн удовлетворяющий уравнению

причем

Оба условия (5.3.4) и (5.3.5) выполнены,

Значит, образуют кратномасштабный анализ (состоящий из кусочно-линейных функций с узлами в ). Поскольку не ортогональна своим сдвигам, нам нужно применить ортогонали-зационный трюк (5.3.3)

В отличие от самой носитель не является компактным; ее график приведен на рисунке 5.5 а. Наиболее легкой процедурой получения графика является (численное) нахождение коэффициентов Фурье

для представления Соответствующей является функция

а дается с помощью формулы

Рис. 5.5. Масштабирующая функция и вейвлет для линейного сплайна в конструкции Батла-Лемарье

Мы вновь вычисляем коэффициенты Фурье для и записываем

Эта функция изображена на рисунке 5.56.

В следующем примере является кусочно-квадратичным В-сплайном,

Рис. 5.6. Квадратичный В-сплайн сдвинутый так, чтобы его узлами были целые значения. Он удовлетворяет условию

как представлено на рисунке 5.6 а. Теперь удовлетворяет соотношению

(см. рис. 5.66). Мы имеем

причем

Снова выполняются условия (5.3.4) и (5.3.5), Функции не ортонормированы, и нам необходимо применить

Рис. 5.7. Масштабирующая функция и вейвлет для квадратичного сплайна в конструкции Батла-Лемарье

ортогонализационный трюк (5.3.3) для нахождения прежде чем мы сможем построить Графики приведены на рисунке 5.7.

В общем случае, является -сплайном степени

где если — нечетное, если — четное. Эта функция удовлетворяет требованию и

Явные формулы для для произвольных могут быть найдены, например, в [30]. Во всех случаях удовлетворяет условиям (5.3.4), (5.3.5). Для четных она симметрична относительно для нечетных — относительно Во всех случаях, кроме не являются ортонормированными, поэтому необходимо проводить процедуру ортогонализации (5.3.3). В результате для всех вейвлетов Батла-Лемарье. «Ортонормированная» имеет ту же ось симметрии, что и Ось симметрии для всегда проходит через четных функция антисимметрична относительно этой оси, для нечетных она симметрична.) Хотя носители «вытягиваются» вдоль всей прямой, эти функции по-прежнему имеют очень хорошее (экспоненциальное) убывание. Чтобы доказать это, нам нужно следующее предложение.

Предложение 5.4.1. Предположим, что имеет экспоненциальное убывание, и для некоторого а

Предположим также, что Определим с помощью Тогда тоже имеет экспоненциальное убывание.

Доказательство.

1. Оценка предполагает, что имеет аналитическое продолжение в полосе для всех То же верно и для

2. Для фиксированного определим

Тогда

и

(Мы использовали оценки ) Следовательно, ряд сходится абсолютно, если Сходные оценки вместе с теоремой об интегрируемости предела показывают, что функция является аналитической при в полосе

3. Функция имеет аналитическое продолжение в полосу Поскольку — периодична с периодом то существует и, возможно, меньше, чем , такое, что при Следовательно, может быть определена как аналитическая функция в полосе Это означает, что имеет продолжение до равномерно ограниченной функции в полосе

4. С другой стороны, (5.4.1) влечет

для Следовательно, на множестве функция — аналитическая и ограниченная:

Следовательно,

Следствие 5.4.2. Все вейвлеты Батла - Лемарье и соответствующие масштабирующие функции имеют экспоненциальное убывание.

Доказательство.

1. Если степень -сплайна равняется нулю, то это случай Хаара и доказывать нечего. Возьмем Тогда откуда

2. Условие удовлетворяется тривиально для произвольно большого Более того, для любого мы можем построить такую , что для всех на Тогда

и (5.4.1) тоже выполняется для достаточно больших а.

3. Следовательно, имеет экспоненциальное убывание, и скорость убывания полностью определяется ближайшим к вещественной оси комплексным нулем

4. Поскольку убывает экспоненциально, мы имеем (используем Следовательно,

Замечание. Конструкция вейвлетов Батла-Лемарье, предложенная Батлом, отличается от приведенной здесь конструкции. Его анализ был вдохновлен техникой из теории квантового поля (см., например, хорошо читаемый обзор Батла [20]).

Итак, среди «более гладких» примеров имеем

• Вейвлет Мейера, принадлежащий и убывающий быстрее любой отрицательной степени (но не экспоненциально быстро);

• Вейвлеты Батла-Лемарье, которые могут принадлежать с конечным к и иметь экспоненциальное убывание (скорость убывания убывает с ростом к).

В следующей части мы увидим, что ортонормированные вейвлеты не могут содержать лучшее из обоих миров: они не могут принадлежать и иметь экспоненциальное убывание. (Заметим, что фреймы вейвлетов не страдают подобным ограничением: примером является функция мексиканская шляпа.)