3.7. Некоторые заключительные замечания

В этой главе мы в какой-то степени изучили восстановление по последовательности где (и вариации этого — см. § 3.3.4). Мы видели, что численно устойчивое восстановление возможно, лишь если образуют фрейм. Мы вывели формулу восстановления в случае, когда является фреймом. Однако можно использовать другие формулы восстановления (при условии, что действительно образуют фрейм: необходимость этого условия остается!). Завершая эту главу, обрисую подход Малла, который относится и к проблеме инвариантности смещений.

Дискретное вейвлет-преобразование, каким я описывала его в этой главе, является весьма не инвариантным под действием смещений. Под этим я подразумеваю, что две функции могут быть смещенными версиями друг друга, в то время как их вейвлет-коэффициенты могут очень различаться. Это уже иллюстрировалось «гиперболической решеткой» на рисунке 1.4 а, где ось играет особую роль. На практике же бесконечное число масштабов не используется. Очень низкие и очень высокие частоты обрезаются: используются только то, удовлетворяющие неравенствам то Получившаяся обрезанная решетка теперь является инвариантной под действием смещений на (для простоты выбрали ). Однако, это значение является большой величиной в сравнении с шагом дискретизации функции по времени (в большинстве приложений задается своими значениями в точках). Если — смещение на величину то вейвлет-коэффициенты

обычно отличаются от коэффициентов . Даже если смещение равно то , то , где , но такая формула не может быть написана для Для некоторых приложений (в частности, для всех приложений, связанных с «распознаванием» это действительно может быть проблемой. В первом приближении решение, предложенное Малла, состоит в следующем:

• Вычисляем все (со специальной такой, как в § 3.3.5 Г, это можно сделать за операций, при условии, что задана значениями). Этот список коэффициентов инвариантен относительно смещений на .

• На каждом уровне то оставляем только такие которые являются локальными экстремумами (как функция от Это соответствует прореживанию весьма избыточных На практике число оставленных значений пропорционально числу первоначальных значений с коэфициентом . Это примерно то же число, что было получено ранее для не очень избыточного фрейма, но теперь выбор числа значений адаптирован к а не навязывается заранее гиперболической решеткой.

Наряду с этим рецептом разложения (описанным здесь в упрощенной форме) Малла предложил и алгоритм восстановления, хорошо работающий на практике (см. Малла В [136] Малла и Жонг распространили эту процедуру на двумерный случай для работы с образами. Один из вариантов трактовки подхода Малла состоит в том, чтобы рассматривать как основополагающий фрейм (заметим, что нормирующий множитель при ведет к увеличению числа векторов фрейма на каждом -уровне). Снова, для существования алгоритма восстановления необходимо, чтобы это семейство удовлетворяло условию (3.1.4). Но как только это условие выполняется, можно предложить несколько алгоритмов восстановления. В этом случае алгоритм Малла с экстремумами определенно является более замысловатым, чем обычный алгоритм восстановления.