Если мы запишем (3.3.3) для 
и просуммируем полученные неравенства с весовыми коэффициентами 
такими, что 
тогда мы получим
В частности, если С — некоторый положительный ядерный оператор (см. предварительные сведения), то
где 
— ортонормированы, 
Вследствие (3.3.4), для любого такого оператора мы имеем
2. Теперь применим (3.3.5) к специальному оператору С, построенному с помощью непрерывного вейвлет-преобразования с другим материнским вейвлетом. Возьмем такую функцию 
из 
что 
и определим семейство 
а для 
по аналогии со сделанным во второй главе. Если 
— положительная ограниченная функция, то оператор
положителен и ограничен (см. § 2.8). Если, дополнительно, 
является интегрируемой по 
, то С — ядерный оператор, и 
Рассмотрим случай, когда 
если 1 а 
в противном случае, при этом 
— положительная и
интегрируемая. Тогда мы имеем
и
3. Для определенного таким образом С средний член из (3.3.5) превращается в
Но
После замены переменных 
мы получаем
Возьмем 
Эта функция имеет только один локальный максимум и монотонно убывает с ростом 
Элементарные рассуждения об аппроксимации интегралов (полностью эти рассуждения можно
найти в работе Добеши [54], лемма 2.2) показывают, что для таких функций 
и любых 
или, для нашего случая,
где 
Следовательно,
где
определена формулой (2.4.1). Первый член из (3.3.7) можно переписать следующим образом
4. Для весовой 
выполняете» 
Отсюда следует, что 
Подставляя полученные результаты в (3.3.5), находим
по 
мы требуем, чтобы 
образовывали фрейм. В § 3.2 мы построили алгоритм восстановления 
по 
в случае, когда 
действительно образуют фрейм. Для этого алгоритма важным является отношение границ фрейма. Позднее в этом пункте мы вернемся к способам вычисления, по крайней мере, оценки этого отношения. Однако вначале покажем, что если 
образуют фрейм, то 
— допустима.
образуют фрейм в 
с границами А, В, то
мы имеем
Разделив на 
и устремив 
к нулю, получаем (3.3.1). Формула (3.3.2) для отрицательных частот доказывается аналогично.
