Примечания

1. Если любая может быть записана в виде такой суперпозиции, то также называются «атомами», а соответствующие разложения — «атомарными разложениями». Атомарные разложения (для многих пространств помимо давно изучались и использовались

в гармоническом анализе: см., например, работу Койфмана и Рохберга [47] об атомарных разложениях в пространствах целых функций.

2. Это верно, за исключением очень частного выбора Если образуют ортонормированный базис (см. главу 4 и далее), то разложение по этому базису дает дискретную формулу обращения.

3. С помощью тождества поляризации восстанавливается по

4. Это означает, что для любой возрастающей последовательности конечных подмножеств стремящихся к при стремлении т. е. такой, что если то, и выполняется при Доказательство проводится в два этапа:

• Если По, то величина

стремится к 0 при . Отсюда образует последовательность Коши с пределом из .

• Для такого и любой

Отсюда

5. Это доказывается следующим образом:

6. Интуитивно С можно понимать как «суперпозицию» ядерных операторов ранга 1 с весами Если с интегрируются по то индивидуальные следы (все равные 1) с весами суммируемы, так что вся суперпозиция имеет конечный след

Эти весьма поверхностные рассуждения можно сделать строгими с помощью рассуждений об аппроксимации.

7. Здесь мы используем понятие «существенной точной нижней грани» (обозначается определяемое так:

где обозначает меру Лебега Разница между и состоит в требовании положительности меры: если для всех тогда но потому что исключая множество меры ноль, которое «не идет в счет». На самом деле мы могли бы быть педантичными и заменить или на или в большинстве наших условий, не испортив их, но обычно этого не стоит делать: на практике выражения, с которыми мы имеем дело, являются непрерывными функциями, для которых совпадают. Для (3.3.11) ситуация отличается: даже для очень гладких сумма разрывна в потому что Для функции Хаара, например, если если Таким образом, нам нужно иметь существенную точную нижнюю грань, просто точная нижняя грань равна нулю.

8. Это условие подразумевает и ограниченность убывание

и

Для первого члена можем использовать, что при выполняется , и тогда при верны оценки Следовательно, первый член можно ограничить с помощью как только . Для второго члена используем, что и ограничиваем сумму с помощью где — произвольное. Поскольку , это выражение можно ограничить с помощью если Таким образом, для

откуда

если .

9. Если — непрерывна и убывает на то непрерывна по за исключением Таким образом, существует а такое,

что если Для определим функцию следующим образом: если в противном случае. Тогда

(для оценки интеграла использовали неравенство Коши-Шварца)

Если , где то эта бесконечная сумма равномерно ограничена по , и мы можем выбрать а так, чтобы вся правая часть неравенства была .

10. Внимание: ошибка в примере на страницах 988-989 в [54]. В формуле для следует читать откуда заключаем, что для малых . Я хотела бы поблагодарить Чуй и Ши [33] за указание на допущенную ошибку.

11. Это слегка отличается от кратномасштабного анализа, где (3.3.27) должно также содержать масштабирующий множитель 2:

12. Можно также построить жесткие фреймы, для которых ни ни не имеют компактный носитель. Например, можно построить жесткий фрейм, в котором и и имеют экспоненциальное убывание. Чтобы сделать это, достаточно начать с любого оконного фрейма

Фурье с оконной функцией и определить функцию , где Тогда функции (с теми же и что и для ) образуют жесткий фрейм. На самом деле,

Точное вычисление можно провести с помощью разложения в ряд для такого же, что и ряд для в § 3.2. Если и имеют экспоненциальное убывание (в особенности, если — гауссиан), то полученная и ее преобразование Фурье имеют также экспоненциальное убывание. Подробности, графики примеров, интересные приложения см. в работе Добеши, Джаффара и Журне [64].

13. Доказательство Бакри, Гроссмана и Зака в [11] использует преобразование Зака, которое мы вводим и используем в главе 4. Их рассуждения во всех подробностях приведены Добеши в [54]. Интересно, что их доказательство можно продолжить и показать, что все по-прежнему натянуто на если изъята одна (любая) из Это не выполняется, если изъяты две функции.

14. Эти точные формулы снова используют преобразование Зака. Их вывод приведен Добеши и Гроссманом в [56], обзор также помещен Добеши в [54].

15. В некоторых приложениях результат Бастианса трактуется (и правильно) в том смысле, что для сохранения устойчивости должно быть «перенасыщение» (т. е. ). Тем не менее, даже для такого «перенасыщенного» режима иногда используется патологическая двойственная функция Бастианса (см., например, у Пора и Зееви в [156]). Если то можно разбить на два семейства каждое из которых может быть рассмотрено как семейство гауссианов для оконного случая Фурье, одно из семейств порождено самой другое — Для обоих семейств можно выписать плохо сходящееся разложение (3.4.6) (не сходящееся в а любую функцию можно представить как среднее этих двух разложений. Конечно, это верно в смысле распределений. На практике, кажется, можно получить

разумную сходимость, используя обрезанную версию бастиансовской (из личного общения с Зееви (1989)). Однако намного лучшая частотно-временная локализация и, как я подозреваю, лучшая сходимость на практике достигается при использовании оптимальной двойственной функции g (соответствующей на рисунке 3.6 для этого случая).

16. Конечно, эта симметрия не обязательна.

17. На самом деле это истинная гиперболическая решетка в гиперболической геометрии на полуплоскостях и положительной, и отрицательной частоты.

18. Заметим, однако, что Мейер недавно доказал, что локальных экстремумов в вышеописанной конструкции недостаточно, чтобы полностью описать