6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности

Первое необходимое и достаточное условие на то, гарантирующее -сходимость было обнаружено Коэном [35]. Условие Коэна использует структуру множества нулей Перед изложением его результата удобно ввести новое понятие.

Определение. Компактное множество К называется конгруэнтным по модулю , если

2. Для всех из существует такое что

Рис. 6.1.

является компактным множеством, конгруэнтным по модулю . Его можно рассматривать как результат вырезания кусков из и сдвига первого из них вправо на а второго — влево на

Обычно подобное компактное множество К, конгруэнтное можно рассматривать как результат работы типа «разрежь и склей» на множестве Пример приведен на рисунке 6.1. Теперь мы готовы сформулировать и доказать теорему Коэна.

Теорема 6.3.1 (Коэн [35]). Предположим, что то является тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим (6.1.1), причем определена с помощью (6.2.2). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

2. Существует такое компактное множество К, конгруэнтное по модулю , содержащее некоторую окрестность 0, что

Замечание. Условие (6.3.2) может выглядеть несколько техническим и трудным для практической проверки. Напомним, однако, что К является компактным и, таким образом, ограниченным: [-R, R]. В силу непрерывности то и условия равномерно для всех выполняется неравенство если к больше некоторого Это означает сведение (6.3.2) к требованию, чтобы ко функций не имели нулей на К, или, что эквивалентно, то не имела нулей на . А это уже более доступно!

Доказательство теоремы 6.3.1.

1. Начнем с доказательства

Предположим, что выполнено (6.3.1) или, эквивалентно, Тогда для всех существует такое что

Поскольку является непрерывной, конечная сумма также непрерывна. Тогда для каждого из существует такая окрестность что для всех из этой окрестности

Поскольку является компактным, существует конечное подмножество набора интервалов которое по-прежнему покрывает Возьмем в качестве максимума связанных с этим конечным покрытием. Тогда для всех выполняется неравенство

2. Следовательно, для каждого существует такое I между что Теперь определим множества Положим

и для

Множества образуют разбиение Поскольку — непрерывна, содержит окрестность 0. Теперь определим

Ясно, что К является компактным И конгруэнтным по модулю . В силу построения верно, что на К, а К содержит окрестность 0.

3. Далее мы увидим, что К удовлетворяет (6.3.2). Как указывается в замечании, предшествующем доказательству, нам нужно лишь проверить, что для конечного числа к Для значение

отделено от нуля снизу. Поскольку функция также ограничена, первый множитель в правой части (6.3.4) не имеет нулей на компактном множестве К. Являясь конечным произведением непрерывных функций, это выражение само является непрерывным при условии, что

Таким образом, в силу неравенства мы имеем для любого

Это доказывает, что (6.3.2) выполняется, и завершает доказательство

4. Теперь докажем обратное:

Определим где является характеристической функцией К, т.е. если в противном случае. Поскольку К содержит окрестность нуля, поточечно при к

5. По сделанному предположению для к 1 и . С другой стороны для любого мы имеем Отсюда . Поскольку К ограничено, мы можем найти такое ко, что если и Таким образом,

используя для находим, что для

Это можно перефразировать следующим образом:

Отсюда

Мы можем применить теорему об интегрируемости предела мажорируемой последовательности и получить, что

6. Конгруэнтность К и по модулю означает, что для любой -периодической функции имеем В частности,

Поскольку

это влечет Для всех к. Тогда

что эквивалентно (6.2.5), а следовательно, и (6.3.1).

Замечание. «Усеченные» функции не совпадают с введенными в доказательстве леммы 6.2.1, однако последующие рассуждения показывают, что -сходимость предполагает -сходимость Прежде всего, К содержит окрестность для некоторого Определим Поскольку применим те же рассуждения, что и в случае и тогда Следовательно, при к Используя конгруэнтность по модулю видим, что Тогда при

Заметим, что если условие Малла (6.2.15) выполнено, то мы можем просто взять . Тогда условие Коэна очевидным образом выполняется, и на самом деле ортонормированы. В следующем следствии дается другой пример того, как применять условие Коэна.

Следствие 6.3.2 (Коэн [35]). Предположим, что то является тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим (6.1.1), причем а функция определена с помощью (6.2.2). Если то не имеет нулей на то являются ортонормированными.

Доказательство.

Нам нужно лишь построить подходящее компактное множество К. Поскольку то может иметь нули среди множество больше не является хорошим выбором. Но мы можем начать именно с него и «вырезать нули». Более точно, предположим, что нули то на интервале обозначены через (Их число обязательно конечно, поскольку то — это тригонометрический полином.) Аналогично обозначим через нули то на интервале . Для каждого I выберем 1, пересечение и некоторого малого открытого интервала, содержащего достаточно малыми, чтобы они не перекрывали друг друга или и выполнялось неравенство (Если , то будет вида ) Определим К, вырезав интервалы из и добавив их снова, уже сдвинутыми влево или вправо на :

(См. рис. 6.2.)

Теперь проверим, имеет ли то нули на множествах Запишем в виде , где — это с вырезанными — оставшаяся часть. По построению то не имеет нулей на . С другой стороны,

Поскольку Для удовлетворяет (6.1.1), для выполняется неравенство значит,

Рис. 6.2. На рисунке предполагается, что то имеет лишь один ноль на интервале а именно, Выберем

Отсюда . В соответствии с (6.3.6) в качестве компактного множества К выступает

не имеет нулей и на Для всех следующие рассуждения показывают, что и то не имеет нулей на Этим доказывается, что К удовлетворяет (6.3.2). По построению «самый левый» кусочек К имеет вид , «самый правый» — . Но и отсюда Точно так же Тогда

Следствие 6.3.2 является оптимальным в следующем смысле: невозможно найти такое чтобы отсутствие нулей то на аж] гарантировало ортонормированность (Это иллюстрируется контрпримером который обсуждался ранее.) Точки играют особую роль по следующей причине: равенство предполагает для всех к что противоречит (6.2.5). Это можно проверить следующим образом. Возьмем некоторое к (с отрицательными к поступаем аналогично). Тогда к имеет двоичное представление где или 1. Мы можем добавить пару нулей в начало и предполагать

Если к — четное, тогда

Таким образом, нам надо лишь проверить, что происходит, если к является нечетным, или . В этом случае

Если I является нечетным, т. е. то Следовательно, далее нам нужно исследовать лишь случай с или нечетным I. Мы можем продолжить это, показывая, что лишь те к, для которых двоичное представление, заканчивающееся на не приводит автоматически к Но если мы вернемся достаточно далеко назад, мы встретим что на самом деле дает

Во всех этих рассуждениях используется факт, что множество нулей содержит и что является инвариантным циклом под действием операции отображающей в себя. В своей диссертации Коэн [36] доказывает, что корнем проблемы являются такие инвариантные циклы.

Теорема 6.3.3. Предположим, что является тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим (6.1.1), определена при помощи (6.2.2). Тогда условия (1) и (2) из теоремы 6.3.1 эквивалентны следующему утверждению

3. Не существует такого нетривиального цикла из для операции что для всех

Замечание.

1. Ввиду (6.1.1) равенство конечно, эквивалентно

2. Нетривиальный означает отличный от который всегда является инвариантным циклом.

3. В вышеприведенном примере

Для доказательства данной теоремы и связанных с ней результатов следует обратиться к работе Коэна [36]. На самом деле одна из двух импликаций доказывается на шестом шаге доказательства теоремы 6.3.5, приведенной ниже.

Совсем другой подход к выводу условий на то, которые гарантируют (6.2.5), был предложен Лоутоном в [121]. Предположим, что то имеет вид

т.е. для или Полином то всегда можно привести к этой форме умножением на соответствующем сдвигу на Определим . Поскольку если и мы можем перегруппировать нетривиальные -мерный вектор Так как удовлетворяют уравнению

Следовательно, если мы определим матрицу А размерности по формуле

где

т. е. а является собственным вектором А для собственного значения 1. Заметим, что 1 всегда является собственным значением А: если мы определим с помощью (1 в середине) или то

в силу (6.2.7), т. е. Если собственное значение 1 для А является простым, то вектор а должен быть кратным для некоторого . Это влечет .

Поскольку для к (см. начало § 6.2) и по определению, то Так мы имеем очень простое достаточное условие ортонормированности

Теорема 6.3.4 (Лоутон [121]). Предположим, что то является тригонометрическим полиномом вида (6.3.7), удовлетворяющим (6.1.1), определена с помощью (6.2.2). Если собственное значение -мерной матрицы А, определенной с помощью (6.3.9), является простым, то образуют ортонормированную систему.

Ортонормированность может не иметь места, лишь если характеристическое уравнение для А имеет кратный корень 1. Это означает, что среди всех возможных выборов — фиксированное), «плохие» возможности (ведущие к неортонормированным образуют очень «тощее» множество. (Это утверждение более точно сформулировано Лоутоном в [121].) Для например, единственным неортонормированным выбором (с точностью до фазового множителя) является

Условие Лоутона можно рассмотреть в терминах тригонометрических полиномов. Определим, как и прежде, и введем следующий оператор действующий на -периодических функциях

Ясно, что постоянный полином 1 инвариантен под действием в силу (6.1.1). Записывая все в терминах коэффициентов Фурье, мы имеем

откуда

или

Формула (6.3.8) содержит то же самое выражение! (Мы не предполагали, что для так что выражение не совсем то же.) Следовательно, условие Лоутона удовлетворяется, если мы знаем, что единственными тригонометрическими полиномами, инвариантными под действием являются постоянные.

Изначально непонятно, является ли условие Лоутона достаточным или нет: допустимо, чтобы для собственного значения 1 матрица А имела собственный вектор, отличный от и при этом, тем не менее, а равнялось Однако весной 1990 года Коэн и Лоутон независимо друг от друга доказали, что их условия эквивалентны (обобщение можно найти в работе Коэна, Добеши, Фово [41] в виде теоремы 4.3; см. также работу Лоутона [122]), откуда следует достаточность условия Лоутона.

Теорема 6.3.5. Предположим, что то является тригонометрическим полиномом, для которого выполнено (6.1.1) и Если существует компактное множество К, конгруэнтное по модулю , содержащее окрестность 0, для которого то единственными тригонометрическими полиномами, инвариантными под действием являются постоянные.

Замечание. Если мы обозначим через изначальное условие Лоутона, через — условие Коэна, через — условие Лоутона, переписанное в терминах через — ортонормированность то мы уже знаем, что

Достаточно доказать чтобы установить эквивалентность всех четырех условий.

Доказательство теоремы 6.3.5.

1. Мы докажем, что существование непостоянного тригонометрического полинома инвариантного под действием противоречит существованию компактного множества К со всеми необходимыми свойствами. Предположим, что и есть такой полином. Определим Поскольку отличен от постоянной, по крайней мере для одного из выполняется

Возьмем для которого и определим Тогда неотрицателен, имеет по крайней мере один нуль, и инвариантен под действием

2. Далее мы используем множество нулей которое, как оказывается, имеет очень специальную структуру. Если для то

Здесь — неотрицательны, и не могут одновременно обращаться в нуль ввиду (6.1.1). Тогда либо либо Следовательно, взяв один нуль полинома мы можем сопоставить ему цепь нулей из со свойством, что равняется -у либо или, что эквивалентно, где является преобразованием которое отображает в себя. Являясь тригонометрическим полиномом, имеет конечное число нулей. Тогда эта цепь не может продолжаться до бесконечности. Заметим, что цепь имеет по крайней мере два элемента. Так, из следовало бы Пусть будет первым индексом, для которого возникает повторение, т. е. для некоторого Тогда обязательно поскольку привело бы к где значит, не может быть первым индексом повтора. Следовательно, мы имеем цикл нулей для Заметим, что для каждого нуля из цикла.

3. Если цикл нулей исчерпывает множество нулей, отличных от 0, мы можем найти для которого

Его снова можно взять в качестве начала цепи нулей

Каждый элемент этой новой цепи обязательно отличается от всех так как привело бы к равнялось бы некоторому Рассуждая как и выше, приходим к тому, что образует цикл нулей инвариантный под действием и не связанный с первым циклом. Мы можем продолжать построение таких циклов до той поры, пока конечное множество нулей не будет исчерпано. Тогда множество нулей состоит из объединения конечных циклов, инвариантов .

4. Теперь заметим, что если то обязательно . В самом деле, так как то принадлежали бы одному

циклу нулей, если Если этот цикл имеет длину то отсюда следовало бы, что а это невозможно.

5. Наконец, отметим, что если то . В самом деле, для любого такого, что тоже является нулем а следовательно,

Из того, что имеем отсюда Таким образом, существование предполагает существование циклического множества для где так что для всех Поскольку мы имеем

6. Теперь покажем, почему эти нули для то несовместимы с существованием К. Поскольку , в частности, мы имеем где имеют следующие двоичные представления:

Поскольку не все из являются нулевыми. Лишь в этом пункте положим для или 1. Тогда по модулю , где задается с помощью

Мы имеем Предположим, что существует компактное множество К со всеми требуемыми свойствами. Тогда существовало бы целое I, бинарное разложение которого имело бы такое количество цифр, не превосходящее заранее заданного числа зависит только от размера К), что обладало свойством

для всех к 0. Мы имеем

где или 0 для Мы можем переписать это так:

где или 0 для если Значения получены сдвигом десятичной точки влево. Поскольку то является -периодическим, лишь «хвост», т. е. часть разложения вправо от десятичной точки, определяет, обращается ли в нуль или нет. Если то имело бы ту же десятичную часть, что и откуда Поскольку мы имеем Аналогично заключаем, что и т.д. Следовательно, тоже последовательно равны для некоторого к Так как не все равны нулю, в то время как это приводит к противоречию. Доказательство завершено.

Теоремой 6.3.5 мы заканчиваем обсуждение необходимых и достаточных условий для Следующая теорема суммирует главные результаты §§ 6.2 и 6.3.

Теорема 6.3.6. Предположим, что то — тригонометрический полином, для которого Определим с помощью формул

Тогда — это функции из с компактным носителем, удовлетворяющие уравнениям

где определены с помощью то через то Более того, семейство образует жесткий фрейм для с постоянной, равной 1. Этот жесткий фрейм является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда то удовлетворяет одному из эквивалентных условий:

• Существует компактное множество К, конгруэнтное по модулю содержащее окрестность 0, такое, что

• Не существует нетривиального цикла инвариантного под действием такого, что для всех .

• Собственное значение 1 матрицы А размерности определенной с помощью

(здесь предполагаем, что для является простым.

С точки зрения субполосной фильтрации, эта теорема говорит о том, что при условии, что высокочастотный фильтр имеет нулевой коэффициент передачи постоянного тока откуда при подходящем выборе фазы), мы «почти всегда» имеем соответствующий ортонормированный базис. Соответствие не выполняется лишь «от случая к случаю», что иллюстрируется последними двумя необходимыми и достаточными условиями. На практике предпочитают работать с двумя фильтрами, из которых низкочастотный фильтр не имеет нулей в полосе что является достаточным требованием для обеспечения ортонормированности базиса . А теперь пришло время рассмотреть несколько примеров!