8.2. Койфлеты

В § 7.4 мы увидели одно преимущество большого числа нулевых моментов для это приводит к лучшей сжимаемости, потому что вейвлет-коэффициенты функции для мелких масштабов будут преимущественно нулевыми там, где функция гладкая. Поскольку подобного не может произойти для По-прежнему, если для то мы можем применить те же рассуждения о разложении в ряд Тейлора и вывести заключение, что для больших имеем при этом ошибка будет пренебрежимо мала, если гладкая. Это означает, что мы

имеем особенно простое квадратурное правило для перехода от выборки, представляющей к коэффициентам мелкого масштаба этой причине Р. Койфман предположил весной 1989 года, что внимания заслуживает ортонормированный базис вейвлетов, в котором нулевые моменты имеет не только функция но также и . В этой части я кратко обрисую, как это можно сделать, детали приведены в работе Добеши [55]. Поскольку вопрос о таких базисах впервые был поставлен Койфманом (имея ввиду их применение в алгоритме Бейлкина, Койфмана, Рохлина), я назвала полученные вейвлеты «койфлетами».

Целью является нахождение таких что

и

тогда называется порядком койфлета. Мы уже знаем, как выразить (8.2.1) в терминах Это эквивалентно

Чему соответствует Это требование эквивалентно условию Проверим, что означает для Поскольку мы имеем

откуда

или

Следовательно, эквивалентно Точно так же видно, что (8.2.2) эквивалентно или

где — тригонометрический полином. В дополнение к (8.2.3) и (8.2.4) полином то, конечно, удовлетворяет и условию Ограничимся четным (легчайшим случаем, хотя случай нечетного не намного сложнее), Тогда (8.2.3), (8.2.4) подразумевают, что мы должны найти два тригонометрических полинома с условием

Но мы уже знаем, каков общий вид таких — это нечто иное, как уравнение Безу, уже решенное в § 6.1. В частности, имеет вид

— произвольный тригонометрический полином. Осталось разложить чтобы выполнялось Имея в [54] я показала, как свести такое разложение к решению системы из К квадратных уравнений для К неизвестных. Эвристические рассуждения приводят к тому, что при больших К эта система будет иметь решение. Явные решения получены численным образом для На рисунке 8.3 помещены графики вычисленных а соответствующие коэффициенты приведены в таблице 8.1. Из рисунка ясно, что более симметричны, чем из § 6.4 и даже чем из § 8.1, но, конечно, за это пришлось заплатить: койфлет с нулевыми моментами обычно имеет ширину носителя (для сравнения она равна ).

Замечание. является не единственно возможным представлением, но для него проще провести вычисления. проверила другие представления для маленьких значений . Оказывается, что самые гладкие койфлеты (по крайней мере для столь малых значений К)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

не будут самыми симметричными. Для к примеру, существует (очень симметричный) койфлет с показателем Гельдера 1.191814, тогда как койфлет порядка 2 на рисунке 8.3 не принадлежит Оба они имеют носитель ширины 5. Подобное увеличение гладкости можно получить и для Графики, коэффициенты и дополнительные детали приведены в работе Добеши [54].