3.4. Фреймы для оконного преобразования Фурье

Оконное преобразование Фурье из главы 2 тоже можно дискретизировать. Естественной дискретизацией по из, для является где — фиксированные, а то, пробегают Тогда получим семейство

с дискретными индексами. Мы снова ищем ответы на те же вопросы, что и в случае вейвлетов. Какими нужно выбрать , чтобы можно было характеризовать функцию с помощью скалярных произведений ? В каком случае возможно восстановить функцию численно устойчивым методом по этим произведениям? Можно ли придумать эффективный алгоритм для записи в виде линейной комбинации Ответы снова определяются теми же абстрактными рамками: численно устойчивое восстановление по его коэффициентам

возможно, только если образуют фрейм, т. е. если существуют такие что

Если образуют фрейм, то любая функция может быть записана в виде

где векторы из двойственного фрейма. Формула (3.4.1) отвечает на два вопроса: как восстановить по и как записать в виде суперпозиции Детальный анализ фреймов оконных функций Фурье высвечивает некоторые особенности, не характерные для фреймов вейвлетов, имеющие место вследствие разницы в их построении.

3.4.1. Необходимое условие: достаточно высокая частотно-временная плотность

Рассуждения из доказательства теоремы 3.3.1 могут быть использованы для случая оконного преобразования Фурье (с очевидной модификацией) для получения оценок

справедливых для любого фрейма оконных функций Фурье, с границами А, В. При этом никакие дополнительные ограничения на не накладываются (мы всегда предполагаем Из (3.4.2) следует, что граница любого жесткого фрейма равняется (если мы выберем с нормой, равной 1). В частности, если образуют ортонормированный базис, то .

Отсутствие каких-либо ограничений на в неравенствах (3.4.2) похоже на отсутствие условия допустимости для непрерывного оконного преобразования Фурье (см. главу 2) и весьма отлично от требования накладываемого на материнский вейвлет, необходимого как для фреймов вейвлетов, так и для непрерывного вейвлет-преобразования. Другое отличие случая вейвлетов состоит в том, что шаги сдвига по времени и частоте не могут быть произвольными: не существует оконных фреймов Фурье для пар из таких, что . И даже больше: если то для любой соответствует ортогональная всем

В этом случае не образуют фрейма. Более того знания скалярных произведений недостаточно, чтобы определить Таким образом, мы ограничимся . Для того чтобы иметь хорошую частотно-временную локализацию, мы даже должны взять Заметим, что подобных ограничений не существует в случае вейвлетов! Мы вернемся к этим условиям в главе 4, где гораздо более подробно обсудим роль частотно-временной плотности в

противостоянии фреймов оконных функций Фурье и вейвлет-фреймов. До той же поры отложим и доказательство необходимости условия