8.3.2. Масштабирующие функции и вейвлеты

Имея две пары фильтров, мы также имеем две пары вида «масштабирующая функция вейвлет»: Они определены с помощью формул

где определены аналогично. Заметим, что (8.3.7) влечет

В главе 3 мы видели, что для образования вейвлет-базиса Рисса функции должны удовлетворять Тогда обязательным условием будет выполнение равенств . В терминах полиномов это эквивалентно равенству Подстановка в (8.3.5) приводит к или

Значит, мы можем нормализовать и чтобы

Следовательно, и (8.3.8) можно решить, определив

Рассуждениями, аналогичными приведенным в главе 6, показывается, что эти бесконечные произведения равномерно сходятся на компактных множествах, функции имеют компактный носитель, а его ширина задается длиной фильтра. Будучи конечной комбинацией пара тоже имеет компактный носитель. Этого ни в коей мере недостаточно, чтобы гарантировать, что семейства будут двойственными вейвлет-базисами Рисса. На самом деле даже в ортогональном случае (равенство фильтров восстановления и разложения) возможно, не образует ортонормированный базис (см. § 6.2, § 6.3). В этом неортогональном случае нам нужно быть еще более внимательными. Суммируем различные шаги в рассуждении, доказывающем, что у нас двойственный базис вейвлетов (с определенными ограничениями).

Прежде всего, если (что нам тоже нужно доказать! См. ниже), то можно определить ограниченные операторы с помощью

где, как обычно,

Следствием определений (8.3.8), (8.3.9) будет

Вместе со свойствами коэффициентов фильтра из § 8.1 это влечет (можно легко проверить подстановкой)

Тот же фокус применим к другим значениям Вместе все тождества приводят к соотношению

Рассуждения, в точности совпадающие с использованными в главе 5 при получении оценок (5.3.9), (5.3.13), показывают, соответственно, что при Следовательно,

или, в слабом смысле,

Этого недостаточно для установления того, что образуют двойственные базисы Рисса. Причина этому лежит в том, что или могут не образовывать фрейм. В этом случае сходимость в (8.3.11) могла бы решающим образом зависеть от порядка суммирования. Чтобы избежать этого, нам нужно потребовать, чтобы

сходились для всех или, эквивалентно, выполнялись оценки

Если оценки имеют место, то из (8.3.11) следует

и мы автоматически получаем фреймы. Но даже тогда могут быть просто (избыточными) двойственными фреймами, но не двойственными базисами Рисса. Эта избыточность убирается требованием

которое, в точности как в ортонормированном случае (см. § 6.2), эквивалентно (и это можно доказать) условию

Если условия (8.3.12) и (8.3.14) выполнены (в скором времени мы к ним вернемся), то мы на самом деле имеем две цепочки кратномасштабного анализа

где . Пространства вновь дополняют соответственно до соответственно но они не являются ортогональными дополнениями: обычно угол между или меньше 90°. По этой причине для этого случая нужно доказать (8.3.12), в то время как для ортонормированного случая это выполнялось автоматически. Можно взглянуть на ситуацию по-другому. Ввиду неортогональности мы имеем

где (в ортогональном случае имеет место равенство, и . В отличие от ортонормированного случая, мы не можем развернуть эти неравенства, чтобы доказать, что образуют базис Рисса: это привело бы к взрывообразному росту констант. Таким образом, мы должны придерживаться другой стратегии. Заметим, что (8.3.13) влечет Две кратномасштабные иерархии и последовательности дополняющих их пространств связаны друг с другом

наподобие гигантской застежки-молнии, и это позволяет нам контролировать выражения типа

Вернемся к условиям (8.3.12) и (8.3.14). Мы уже видели, как в § 6.3 для простейшего ортогонального случая рассматривались условия (8.3.14). Здесь по существу наша стратегия будет той же. Снова определим оператор действующий на -периодических функциях:

второй оператор определен аналогично. В терминах коэффициентов Фурье для действие дается с помощью

Нас в основном будут интересовать инвариантные тригонометрические полиномы для . Это означает, что мы можем ограничить свое внимание -мерным подпространством функций для которых если (предположим, что , если или ), на нем представлен матрицей. Теоремы 6.3.1 и 6.3.4 имеют следующий аналог.

Теорема 8.3.1. Следующие утверждения эквивалентны:

2. Существуют строго положительные инвариантные для полиномы Также существует такое компактное множество К, конгруэнтное по модулю , что

3. Существуют строго положительные инвариантные для полиномы . С точностью до нормировки лишь они являются инвариантами для

Доказательство очень сходно с доказательством из главы 6, хотя и несколько сложнее. В § 6.3 функции были просто константами.

Здесь они по существу задаются формулами

Подробности того, как приспособить доказательство из § 6.3 к настоящему случаю, приведены Добеши, Коэном и Фово в [41].

Тогда условие (8.3.14) просто означает проверку того, что две матрицы имеют простое собственное значение 1 и что элементы соответствующих собственных векторов определяют строго положительный тригонометрический полином. (Заметим, что если тригонометрический полином принимает отрицательные значения, то Это имеет место для некоторых четверок фильтров с точным восстановлением.) Условие (8.3.12) представляет нечто, не принятое во внимание в ортогональном случае. Оказывается, что это условие выполнено, лишь если какое-либо из трех условий теоремы 8.3.1 имеет место. Доказательство этого удивительного факта состоит из следующих

Во-первых, показывается, что существование собственного значения А для при условии, что противоречило бы интегрируемости с квадратом функции Из теоремы 8.3.1 следует, что все остальные собственные значения имеют абсолютное значение, меньшее, чем 1, если собственное значение 1 — простое, а соответствующий собственный вектор соответствует строго положительному полиному. В доказательстве этого шага используется лемма 7.1.10.

• Из того, что мы, очевидно, имеем . В главе 7 мы видели, что суммы элементов столбцов в матрице, представляющей всегда равны 1. Поэтому вектор-строка соответствующей размерности, у которого все элементы равны 1, является левым собственным вектором с собственным значением 1. Следовательно, спектральный радиус где строго меньше 1. Затем используем принадлежность множеству чтобы доказать (оценки аналогичны приведенным в доказательстве теоремы 7.1.12), что

С помощью неравенства Гёльдера имеем для достаточно малого Это можно использовать при доказательстве «дискретной» версии, т. е. выполнения для всех , снова для достаточно малого В силу ограниченности

функция удовлетворяет подобной оценке

• С другой стороны, можно также доказать, что

Поскольку — целая, Для достаточно малых ряд равномерно ограничен для , и в (8.3.16) нам нужно сконцентрироваться лишь на . Но

Второй множитель конечен ввиду того, что принадлежит и имеет компактный носитель, первый множитель ограничен величиной где что показано выше. Это доказывает оценку (8.3.16), эквивалентную оценке

• Наконец, сочетание формулы Пуассона и неравенства Коши-Шварца приводит к оценке

Из (8.3.15) и (8.3.16) следует, что

Детали, относящиеся к этому рассуждению, можно найти у Коэна и Добеши в [38]. Чтобы на самом деле обеспечить получение двух двойственных вейвлет-базисов Рисса, нам нужно лишь проверить, что 1 является простым собственным значением а соответствующие тригонометрические полиномы строго положительны.