10.6. Базисы вейвлет-пакетов

Вейвлеты для лучшего разрешения из предыдущего пункта фактически являются лишь частным случаем очень красивой конструкции Койфмана и Мейера, названной вейвлет-пакеты (wavelet packet). В настоящем пункте дается лишь их краткое описание. Детали можно найти у Койфмана, Мейера, Викерхаузера в [46]; приложения для акустических сигналов и изображений даются в работах Викерхаузера [186], [185].

Начнем с «обычного» кратномасштабного анализа с показателем сжатия 2 и рассмотрим пространства лишь для Разбиение

соответствует расщеплению по частотам, схематически представленному на рисунке 10.7а. Эвристически «вдвое больше», чем (которые имеют «одинаковые размеры»), — «вчетверо больше» и так далее. Можно представить расщепление всех их с помощью известного трюка на пространства одного размера: делится один раз, делится дважды и так далее. Это соответствует определению множества функций , где I обозначает исходное пространство (и число расщеплений для данного пространства), или 1 обозначает выбор то или при расщеплении. В явном виде

Ясно, что все являются линейными комбинациями , и лемма о трюке с расщеплением (примененная I раз) доказывает, что или является ортонормированным базисом для Следовательно, или является ортонормированным базисом в Заметим, что этот базис соответствует целочисленным сдвигам функций с более или менее одинаковой частотной локализацией (в полосах с шириной примерно начиная с для для Это очень похоже на оконное преобразование Фурье и базисы Вилсона из в то время как вычисления с помощью схем фильтрации производятся так же просто, как и для базисов вейвлетов.

Конечно, существует много решений, занимающих промежуточное место между вейвлетами с одной стороны и базисом вейвлет-пакета, описанным выше: некоторые из пространств можно расщеплять не так часто, другие или некоторые из подпространств такого пространства можно расщеплять на большее количество частей. При каждом таком выборе приходим к ортонормированному базису; более того, существуют эффективные алгоритмы (базирующиеся на вычислениях «энтропии функции» для различных видов расщепления) для определения того, какой из вариантов, выбранный из целой библиотеки, является наиболее эффективным для данного сигнала (см. Койфман, Викерхаузер [48]).