8.1.1. Ближе к линейной фазе

Симметричные фильтры часто называются фильтрами с линейной фазой. Если фильтр не симметричен, то его отклонение от симметрии характеризуется тем, насколько его фаза отличается от линейной функции. Более точно, фильтр с коэффициентами называется фильтром с линейной фазой, если фаза функции является линейной функцией от , т. е. если для некоторого

Это означает, что симметричны относительно Заметим, что в соответствии с этим определением, фильтр Хаара не является фильтром с линейной фазой, хотя коэффициенты фильтра очевидно симметричны. Причина в том, что симметричны относительно в этом случае

Фаза разрывна в , где Если мы расширим определение фильтра с линейной фазой, включив также фильтры, у которых фаза — кусочно-линейная с постоянным угловым коэффициентом и разрывна лишь в нулях то фильтры с симметрией, как у фильтра Хаара, тоже будут содержаться в определении. Идея превращения фильтра в фильтр, «близкий» симметричному, заключается в некотором фокусе с его фазой с целью сделать ее «почти» линейной. Применим это к «обычной» конструкции данной в § 6.4. В этом случае мы имеем

коэффициенты определены извлечением «квадратных корней» с помощью спектральной факторизации. Обычно это означает, во-первых, представление полинома определенного с помощью в виде произведения или

, где соответственно, комплексные и вещественные корни , во-вторых, выбор одной пары из каждой четверки комплексных корней и одного значения из каждой пары вещественных корней. С точностью до нормировки то равняется

Тогда фазу можно вычислить по фазе каждой из составляющих. Поскольку

и

соответствующими вкладами фаз являются

и

Выберем арктангенс так, чтобы была непрерывной на . На примере базиса Хаара видно, что это может не быть «истинной» фазой: мы отутюжили возможные разрывы. Однако, чтобы увидеть, насколько фаза линейна, такая утюжка есть в точности то, что мы хотим сделать. Более того, нам хотелось бы выделить лишь нелинейную часть Тогда мы определим

В § 6.4 при построении мы систематически выбираем все с абсолютным значением, меньшим 1. Это так называемый выбор «экстремальной фазы», который приводит к общей фазе являющейся очень нелинейной (см. рисунок 8.1). Чтобы выбрать то,

максимально приближенным к линейной фазе, мы должны выбрать нули, чтобы было как можно ближе к нулю. На практике существует возможностей. Это число можно уменьшить вдвое: для каждой возможности выбор всех других нулей приводит к комплексному сопряжению точностью до сдвига фазы) и, таким образом, к зеркальному образу . Для или 3 фактически существует лишь одна пара . Для можно сравнивать различных графиков чтобы выбрать наиболее близкий к линейной фазе. Чистый эффект перехода от будет более значителен, если близко к 1, а близко к 0 или На рисунке 8.1 мы показываем графики Для одновременно для первоначальной конструкции из § 6.4 и случая с самой плоской Между прочим, во всех случаях первоначальная конструкция соответствует менее плоской Фобщ, т. е. наиболее асимметричной . «Наименее асимметричные» относящиеся к возможно более плоской изображены на рисунке 6.4 для Соответствующие коэффициенты фильтра приведены в таблице 6.3 для всех от 4 до 10.

Рис. 8.1. Нелинейная часть фазы для при выборе экстремальной фазы (наибольшая амплитуда) и при «ближайшем к линейной фазе» выборе (самая плоская кривая)

Замечание.

1. При обсуждении мы ограничились случаем, когда то и задаются, соответственно, формулами (6.1.10) и (6.1.12). Это означает, что на рисунке 6.4 изображена функция наименее асимметричная среди функций, имеющих носитель ширины для которых функция имеет нулевых моментов. (Это минимальная ширина для нулевых моментов.) Если для допускается больший носитель, то ее можно сделать более симметричной. Эти более широкие решения соответствуют выбору в (6.1.11). Функции из следующей части, к примеру, более симметричны, чем показанные на рисунке 6.4, но они имеют носитель большей ширины.

2. Можно получить даже больше симметрии, если несколько отойти от «стандартной» схемы кратномасштабного анализа, объясненного в главе 5. Предположим, что — это коэффициенты, относящиеся к «стандартному» кратномасштабному анализу и соответствующему ортонормированному базису (с компактным носителем или без него). Определим функции с помощью

Вычисления, сходные с проведенными в главе 5, показывают, что функции образуют ортонормированный базис в Поскольку данная выше рекурсия соответствует

то можно ожидать, что фаза ближе к линейной фазе, чем фаза Заметим также, что откуда На рисунке 8.2 показаны вычисленные по пп для (В отличие от предыдущей конструкции такое «переключение»

Рис. 8.2. Масштабирующая функция и вейвлет полученные после применения «трюка с переключением» к вейвлет-фильтру с 4 отводами из § 6.4

порождает разницу даже для Для «наименее асимметричных» из таблицы 6.3 такая техника приводит к несколько «улучшенной» но, кажется, мало действует на .