Примечания

1. В доказательстве Риффела не строится явное выражение для ортогональной всем Это является вызовом читателю: найти (простую) конструкцию для всех произвольных где

2. Для ортонормированных базисов доказательство будет намного проще. В этом случае нам не нужно заботиться о преобразовании Зака, которое было введено лишь для доказательства того, что если то тоже. Для ортонормированных базисов мы можем начать прямо с пункта 5, установив что невозможно по пункту 6. Это и есть оригинальное элегантное доказательство Батла из [18].

3. Если функции образуют (жесткий) фрейм, то же верно и для функций где

4. Следующий пример иллюстрирует это, показывая, что комплексные экспоненты не образуют безусловного базиса для если Можно показать (см. работу Зигмунда что

В обоих случаях является наихудшей особенностью, а интегрируемость степеней этих функций на [0, 1] определяется их поведением возле 0. Первая функция принадлежит для вторая — нет, даже если модули их коэффициентов Фурье совпадают. Это означает, что функции не образуют безусловный базис для

Базис Хаара для интервала [0, 1] состоит из где на [0, 1]. Этот базис ортонормирован в и является безусловным для если .

5. Следующие рассуждения являются наброском доказательства того, что семейство определены формулой (4.1.8), образует базис Рисса (т. е. линейно независимый фрейм) для если близко 1. Прежде всего, мы по-прежнему можем использовать (3.3.21), (3.3.22) для нахождения оценок границ фрейма. Для выполняется но если то только приводят к ненулевому При вычислении (4.2.6) (где заменено на лишь конечное число вносит вклад, так что это выражение тоже непрерывно по Следовательно, «остатки» из (3.3.21), (3.3.22) — непрерывны по тоже. Так как если то для из окрестности 1. Осталось доказать, что независимы. С этой целью построим оператор

Ясно, что Для доказательства независимости достаточно доказать, что равномерно по для некоторого Но

Используя, что для

мы получаем

Ввиду свойств носителя лишь дают вклад в эту сумму.

Если или —1, то любой выбор дает тот же результат; если то сумма может иметь одно из возможных значений в зависимости от четности . С другой стороны, используя убывание функции легко проверить, ряд сходится и непрерывен по для . Следовательно, множитель в правой части (4.2.26) непрерывен по Поскольку он равен 1 для для из окрестности 1 этот множитель больше 1.

6. Они удовлетворяют оценкам

7. Уже после первого издания этой книги Ошер получил доказательство, которое готовится к печати в Comptes Rendus de l’Academie Scientifique, Paris под названием «II n’existe pas de bases d’ondelettes regulieres dans l’espace de Hardy . Более точно, он доказал, что для невозможно иметь где