3.4.4. Примеры

А. Жесткие фреймы с носителем, компактным во времени или пространстве. Следующая конструкция Добеши, Гроссмана и Мейера из [63], аналогичная примеру из § 3.3.5. А, приводит к жестким оконным фреймам Фурье с произвольно высокой регулярностью при условии Если то

Здесь мы воспользовались тем, что ввиду свойств носителя для каждого свой вклад вносит не более чем одно значение I.

Следовательно,

и фрейм является жестким тогда и только тогда, когда Например, если , то мы снова можем начать с функции из или удовлетворяющей (3.3.25), и определить

Тогда принадлежит или (в зависимости от выбора ), имеет компактный носитель, образуют жесткий фрейм с границей (как следует из Если то эта конструкция может быть легко видоизменена. Эта конструкция приводит к жесткому фрейму с финитной Взяв ее преобразование Фурье, мы получаем фрейм, для которого оконная функция имеет финитное преобразование Фурье.

Б. Гауссиан. В этом случае Дискретные семейства оконных функций Фурье, начиная с гауссиана, широко обсуждались в литературе по многим причинам. Габор [84] предложил использовать их для нужд средств связи (он предложил однако, как будет видно ниже, это не подходящий выбор). Ввиду значимости «канонических когерентных состояний» в квантовой механике (см. Клаудер и Скагерстам они представляют интерес для физиков. Связь между гауссовыми когерентными состояниями и пространствами Баргмана целых функций позволяет переписать результаты, касающиеся в терминах свойств пространства Баргмана. Используя эту связь с целыми функциями, Баргман и др. в [14] и независимо от них Переломов в [154] доказали, что натянуто на тогда и только тогда, когда . В [11] Бакри, Гроссман и Зак использовали другую технику и показали, что если то

хотя являются «полным» семейством в том смысле, что натянуто на него. (Мы увидим в главе 4, что это является прямым

следствием выбора и регулярности и Таким образом, это служит примером такого семейства Для которого достаточно знать значения чтобы характеризовать функцию условии, что если Для всех то Однако для него не существует численно устойчивой формулы восстановления по Бастианс построил такую двойственную функцию что

где однако сходимость в (3.4.6) имеет место только в очень слабом смысле (в смысле распределений см. [103], даже не в слабом -смысле. Фактически сама не принадлежит

Итак, случай абсолютно понятен. Что происходит, если ? В таблице 3.3 приведены значения границ фрейма А, В и отношения для различных значений вычисленные по формулам (3.4.3), (3.4.4) и аналогичным формулам с использованием Мы обнаруживаем, что действительно образуют фрейм, даже при хотя отношение становится очень большим, близким «критической» плотности. Оказывается, когда границы фрейма могут быть также вычислены с помощью другой техники, которая дает точные значения (с точностью до ошибки вычисления) вместо нижней и, соответственно, верхней границ для . В таблице 3.3 эти точные значения приведены для и Удивительно, насколько близкими являются наши границы для А и В (которые, помимо прочего, получены с помощью неравенства Коши-Шварца и, таким образом, должны быть достаточно грубыми) и точные значения. Подставляя эти значения вместо А и В в аппроксимационную схему, данную в конце § 3.2, мы можем вычислить для разных значений из На рисунке 3.6 представлены графики частном случае, когда где А принимает значения 0.25, 0.375, 0.5, 0.75, 0.95 и 1. Функция Бастианса соответствующая (нижний правый график на рисунке 3.6), должна вычисляться по-другому, поскольку при Для маленьких А фрейм очень близок к жесткому, а сама близка что иллюстрируется почти гауссовым профилем при . С ростом фрейм одновременно становится менее избыточным (что отражает растущий

Таблица 3.3 (см. скан). Значения границ фреймов А, В и отношения для случая и различных значений При можно вычислить точные значения с помощью преобразования Зака (см. Добеши и Гроссман, [56])

максимум амплитуды и менее жестким, заставляя все больше и больше отклоняться от гауссиана. Поскольку и и убывают быстрее, чем экспонента, легко получить, исходя из представления в виде сходящегося ряда (см. § 3.2), что и имеют также экспоненциальное

Рис. 3.6. Функция двойственного фрейма для гауссиана и , где и 1. С ростом А функция все больше и больше отклоняется от гауссиана (отражая возрастание ее амплитуда также растет (поскольку убывает . При более не является интегрируемой с квадратом

убывание, если Следовательно, имеют хорошие свойства частотно-временной локализации для всех значений на рисунке 3.6. При этом поражает, как стремится к патологической функции Бастианса с ростом А. При свойства частотно-временной локализации перестают выполняться. Ряд графиков на рисунке 3.6 позволяет выдвинуть гипотезу, впервые сформулированную Добеши и Гроссманом в [56], что по крайней мере для гауссиана семейство является фреймом, каково бы ни было значение . В [54] Добеши показывает, что это в самом деле имеет место при Эта гипотеза была доказана с использованием методов целых функций Любарски [131] и независимо Сейпом и Волстеном [161].

Конечно, существует много других возможных популярных кандидатов на роль оконной функции, но на этом мы завершим свой список примеров и вернемся к вейвлетам.