Глава 8. Симметрия базисов вейвлетов с компактными носителями

Все рассмотренные нами до сих пор примеры ортонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями, являются заметно несимметричными, в отличие от встречавшихся ранее вейвлет-базисов с бесконечными носителями, например, базисов Мейера и Батла-Лемарье. В этой главе мы обсудим, почему возникает такая асимметрия, что можно с этим сделать и можно ли что-либо с этим сделать.

8.1. Отсутствие симметрии для ортонормированных вейвлетов с компактным носителем

В главе 5 мы уже видели, что кратномасштабный анализ не определяет однозначно. Это снова подтверждается следующей леммой.

Лемма 8.1.1. Если семейство функций образуют ортонормированные базисы в одном и том же подпространстве Е в то существует -периодическая функция для которой

Доказательство.

1. Поскольку функции представляют ортонормированный базис для то Следовательно, , где

2. Как показано в главе 5, ортонормированность эквивалентна условию . Аналогично получаем, что Следовательно,

Однако мы также имеем и такую лемму.

Лемма 8.1.2. Если является конечной последовательностью (в которой число ненулевых элементов велико, но конечно) и если то для некоторого

Доказательство.

1. Поскольку имеем

2. Определим так, чтобы если или

3. В силу (8.1.1) заключаем, что Но по определению сумма состоит из единственного члена а ненулевого по определению. Отсюда

Из этих двух лемм следует, что с компактными носителями являются единственными для данного кратномасштабного анализа, с точностью до сдвига.

Следствие 8.1.3. Если обе функции имеют компактные носители, а семейства образуют два ортонормированных базиса для одного и того же пространства Е, то для некоторых а

Доказательство.

По лемме 8.1.1 мы имеем где . Поскольку имеют компактный носитель, то лишь конечное число Следовательно, по лемме 8.1.2 получаем, что откуда

В частности, если имеют компактные носители и являются «ортонормированными» масштабирующими функциями для одного и того же кратномасштабного анализа, то является сдвигом константа а обязательно равняется 1, поскольку принято, что (см. главу 5). Этот результат о единственности можно использовать для доказательства того, что за исключением базиса Хаара все вещественные ортонормированные базисы вейвлетов, имеющие компактный носитель, будут несимметричными.

Теорема 8.1.4. Предположим, что масштабирующая функция и вейвлет в некотором кратномасштабном анализе, имеют компактные носители и являются вещественными. Если имеет ось симметрии или антисимметрии, то является функцией Хаара.

Доказательство.

1. Мы всегда можем сдвинуть чтобы выполнялось для Поскольку — вещественная, то такими же будут и Пусть будет наибольшим индексом, для которого коэффициент не равен нулю: для Тогда — нечетное, потому что предположение о четности вместе с равенством

привело бы к противоречию, если положить

2. Так как для по лемме 6.2.2.2 Тогда обычное определение (5.1.34) дает по гдепо Таким образом, ось симметрии обязательно проходит через и мы имеем или

3. Следовательно,

что означает инвариантность пространств под действием отображения Поскольку то также инвариантны.

4. Теперь определим Тогда функции образуют ортонормированный базис в (потому что инвариантно под действием . Из следствия 8.1.3 получаем, что . Следовательно,

5. С другой стороны,

В силу леммы 8.1.2 это приводит к выполнению для некоторых . Поскольку мы предполагали это означает . В силу (8.1.2) имеем и в общем случае Нормировка главу 5) фиксирует значение

6. Тогда мы имеем или Следовательно, или для в противном случае. Если то это в точности дает базис Хаара. Если , то — не будут ортонормированными, что противоречит предположениям теоремы.

Замечание.

1. Отсутствие симметричных или антисимметричных вещественных вейвлетов с компактными носителями не станет сюрпризом для читателей, знакомых с субполосным кодированием: Смит и Барнвел в [166] уже отмечали, что симметрия не совместима со свойством точного восстановления в субполосной фильтрации. Единственным новым результатом теоремы 8.1.4 является обязательная симметричность при условии, что симметрична, но в любом случае справедливость этого результата интуитивно ясна.

2. Если снять ограничение на вещественность то симметрия становится возможной, даже если имеет компактный носитель (Лоутон, личное общение, 1990).

Таким образом, асимметрия всех примеров, изображенных на рисунках в § 6.4, не устранима. Но почему это должно нас волновать? Симметрия хороша, но не можем ли мы обойтись без нее? В некоторых приложениях она действительно вообще не важна. В приложениях из численного анализа из работы Бейлкина, Койфмана и Рохлина [24], например, очень хорошо работают весьма асимметричные вейвлеты. В других приложениях асимметрия может стать неприятностью. Например, при кодировании изображения ошибки квантования часто бывают наиболее заметными у краев изображения. Таково свойство нашей зрительной системы, что мы терпимы скорее к симметричным ошибкам, чем к асимметричным. Другими словами, меньшая асимметрия привела бы к большей сжимаемости при одинаковой ошибке восприятия. Более того, симметричные фильтры облегчают работу с краями изображения (см. также главу 10); это является другой причиной того, почему

в литературе о субполосном кодировании предпочитают симметрию. В следующих параграфах обсуждается, что мы можем предпринять, чтобы сделать ортонормированные вейвлеты менее асимметричными, или как получить симметрию, отказавшись от ортонормированности.