10.4. Одномерные ортонормированные базисы вейвлетов с нецелыми показателями сжатия

Итак, для одномерного случая мы обсудили ситуацию с целыми показателями сжатия Однако нецелые показатели сжатия тоже возможны. В рамках кратномасштабного анализа показатель сжатия должен быть рациональным (доказательство дается Ошером в [7]). Дж. Давид в 1985 году уже указывал на то, что конструкция вейвлетов Мейера может обобщаться на случай параметра сжатия

где . В [7] Ошер поместил конструкции для произвольных рациональных а (см. также работу этого автора в [159]). На примере покажем, как следует изменить схему с параметром 2. Снова начинаем с кратномасштабного анализа, определенного с помощью (5.1.1)-(5.1.6), где в качестве параметра сжатия берется вместо 2. Снова имеем и тогда

(Причина, по которой появляется индекс 0, вскоре станет ясной.) Следовательно,

а ортонормированность влечет

С другой стороны, также лежит в и может быть записана в виде (другой) линейной комбинации функций —

Тогда ортонормированность и ортогональность по отношению к влечет

Все это означает, что на самом деле у нас две -функции

А что с функцией ? Снова определим для пространство ортогональное дополнение до Заметим, что образуется с помощью или, эквивалентно, четными целыми сдвигами трех функций, а именно

соответствующих . Пространство порождается двух функций . Следовательно, дополнение порождается единственной функции, вдвое меньше, чем . Тогда мы ожидаем ортонормированный базис вида

Эта функция тоже может быть записана в виде линейной комбинации функций

и ортонормированность плюс ортогональность по отношению

Если определить то условия (10.4.2), (10.4.4)-(10.4.7) становятся эквивалентными условию унитарности матрицы

Эта матрица выглядит идентичной (10.2.1), но это сходство обманчиво: в (10.4.8) первые два столбца заданы низкочастотными фильтрами,

потому что они оба относятся к масштабирующей функции в то время как второй столбец из (10.2.1) соответствует высокочастотному фильтру. Такие на самом деле могут быть сконструированы (подробности и графики даны Ошером в [7]). Заметим, что тесно связаны. Преобразованиями Фурье для (10.4.1) и (10.4.3) являются

откуда

что должно выполняться для почти всех . Если — непрерывная, то следующие рассуждения показывают, что на некоторых интервалах обращается в ноль. Поскольку существует такое а, что для а имеем Следовательно, для а

или

Из того, что также -периодические, получаем для . Следовательно, для . В частности, это указывает на то, что не может иметь компактный носитель (компактность носителя означает, что — целая, а нетривиальные целые функции могут иметь лишь изолированные нули).

Тем не менее, схемы субполосной фильтрации с КИХ-фильтрами и с рациональными параметрами сжатия, в частности, были предложены и построены Ковачевич и Веттерли в [113]. Основная идея проста: начав с можно произвести разложение на три поддиапазона по схеме из § 10.2, а затем перегруппировать два диапазона с наименьшими частотами с помощью фильтра восстановления с параметром сжатия 2. Результатом этой операции является в то время как третий диапазон с наивысшими частотами после первого разложения обозначим Соответствующая блочная диаграмма приводится на рисунке 10.4. Если все фильтры являются КИХ-фильтрами, то и схема в целом будет КИХ-схемой. Но разве мы только что не доказали, что не существует

Рис. 10.4. Блочная диаграмма, соответствующая субполосной фильтрации с показателем сжатия (см. [113])

Рис. 10.5. Модуль Для определенной в § 6.4

кратномасштабного анализа с параметром сжатия и КИХ-фильтрами? Решением этого парадокса является то, что блочная диаграмма не соответствует описанной ранее конструкции. Детальный анализ рисунка 10.4 показывает, что в этой схеме используются две различные функции порождается функциями Рассуждения, доказывающие, что не может иметь компактный носитель, здесь неприменимы, и на самом деле могут иметь компактный носитель. Теперь аналогом (10.4.9) является уравнение, связывающее двумерные векторы

Однако теперь сложно понять, как сформулировать условия на фильтры, которые дали бы регулярность

Можно задаться вопросом, какова причина появления этих дробных показателей сжатия. Причиной является более отчетливая частотная локализация, которую они могут обеспечить. Если показатель

сжатия равен 2, то в основном, локализована между , что иллюстрируется рисунком 10.5 для преобразования Фурье «типичной» . В некоторых приложениях полезно иметь базис вейвлетов с шириной диапазона уже, чем одна октава (octave), и базисы вейвлетов с дробным показателем являются одним из возможных ответов. Другой ответ дается Коэном и Добеши в [39] и описывается в следующей части.