6.4. Примеры вейвлетов с компактными носителями, порождающих ортонормированный базис

Все примеры, приведенные в этой части, получены с помощью спектральной факторизации (6.1.11) для различных и За исключением

базиса Хаара, мы не имеем явных формул для . В следующей части мы объясним, как получены графики для

Первое семейство примеров, построенное Добеши в [53], соответствует в (6.1.11). При спектральной факторизации, необходимой для извлечения из мы систематически удерживаем нули в пределах единичного круга. Для каждого соответствующий полином дгтоо имеет ненулевых коэффициентов. Мы можем выбрать фазу чтобы

В таблице 6.1 помещены для от 2 до 10. Для ускоренного применения имеет смысл сделать факторизацию (6.1.10) явной: фильтр намного короче, чем то позиций вместо а фильтры — более легки в применении. В таблице 6.2 помещены коэффициенты для от 2 до 10. На рисунке 6.3 представлены графики соответствующих Для . Обе имеют носитель ширины их регулярность очевидно возрастает с ростом На самом деле можно доказать (см. главу 7), что для больших функции где

Систематическое удержание нулей в пределах единичного круга в процедуре спектральной факторизации означает выбор фильтра с «минимальной фазой» среди всех возможных при фиксированном Это соответствует очень заметной асимметрии функций что показано на рисунке 6.3. Другой выбор может привести к меньшей несимметричности хотя, как мы увидим в главе 8, полная симметрия не достижима (исключением является базис Хаара) в рамках базисов вейвлетов с компактными носителями. В таблице 6.3 приводятся с «наименьшей асимметрией» для от 4 до 10, соответствующие тому же что и в таблице 6.1 с другим квадратным корнем В главе 8 мы вернемся к тому, как определяется «наименее асимметричный квадратный корень». На рисунке 6.4 показаны соответствующие функции

На рисунке 6.5 приведены графики как функции от для вышеприведенных примеров при и 10. Эти графики показывают, что субполосные фильтры для таких ортонормированных базисов

Таблица 6.1. (см. скан) Коэффициенты фильтра (низкочастотный фильтр) для вейвлетов с компактными носителями, имеющих экстремальную фазу и наибольшее число нулевых моментов, совместимое с шириной носителя. Величины нормированы так, чтобы

в самом деле очень пологие около 0 и , но очень «округлые» в районе перехода около Фильтры можно сделать «круче» в таком районе перехода с помощью подходящего выбора в (6.1.11). На рисунке 6.6 показан график соответствующий и степени 3, выбранному

Таблица 6.2. Коэффициенты для до 10. Нормировка:

так, чтобы функция имела нуль в . Это очень близко «реалистичному» фильтру субполосного кодирования. Соответствующая «наименее асимметричная» функция изображена на рисунке 6.7. Она менее гладка, чем (которая имеет ту же ширину носителя, но соответствует однако оказывается более гладкой, чем 2 (для которой то имеет нуль той же кратности, т. е. 2, в . В главе 7 мы обсудим регулярность и пологость более детально. Величины соответствующие рисунку 6.7, приведены в таблице 6.4.

Все эти примеры соответствуют вещественным т. е. симметричным относительно функциям Возможно также построить (комплексные) примеры, в которых в большей степени сосредоточены на а не на Для иллюстрации возьмем из предыдущего примера со свойством и определим Очевидно, удовлетворяет (6.1.1), т.к. это выполняется для то, и Тогда мы можем построить Они являются

Таблица 6.3. (см. скан) Коэффициенты низкочастотного фильтра для «наименее асимметричных» вейвлетов с компактными носителями, имеющих максимальное число нулевых моментов, до 10. Здесь приведены значения

функциями из с компактными носителями, образуют жесткий фрейм для в силу предложения 6.2.3. Более того, поскольку нулями на являются лишь то лишь для или Следовательно, для образуют ортонормированный базис вейвлетов в силу

Таблица 6.4. Коэффициенты низкочастотного фильтра, соответствующие масштабирующей функции на рис. 6.7.

следствия 6.3.2. Рисунок 6.8 изображает

Ясно, много больше, чем Заметим, что часть с отрицательными частотами более приближена к началу, чем часть с положительными частотами, как требуется в необходимом условии (см. §3-4) в [35] Коэн указал на существование такой «асимметричной» На самом деле для любого можно найти такой ортонормированный базис вейвлетов, что