3.3.5. Примеры

А. Жесткие фреймы. Эта конструкция, впервые предложенная Добеши, Гроссманом и Мейером в [63], приводит к семейству жестких фреймов вейвлетов. Пусть функция и принадлежит действует из 1 в М и удовлетворяет условию

(см. рис. 3.3). Примером такой функции из является

Для произвольных мы определим по формуле

где На рисунке 3.4 изображена для и из (3.3.25). Легко проверить, что

и

где — характеристическая функция открытой полуоси если — в противном случае.

Рис. 3.3. Функция определенная формулой (3.3.25)

Рис. 3.4. Функция со значениями

Тогда для любой имеем

Аналогично, Следовательно, или является жестким фреймом в с границей, равной Можно изменить конструкцию и получить фрейм, состоящий из вещественных вейвлетов: порождают жесткий фрейм или Эти фреймы не являются сдвигами и сжатиями одной функции, что является естественным следствием расцепления положительных и отрицательных частот в этой конструкции. Более серьезным возражением против применения этих фреймов является тот факт, что их преобразования Фурье имеют компактный носитель, и размер этого носителя относительно мал (для приемлемых . В результате эти вейвлеты численно убывают достаточно медленно: даже если мы выберем из так, чтобы убывали быстрее любого обратного полинома

значение См оказывается слишком большим, чтобы быть использованным на практике. Заметим, что в этой конструкции мы не вводим никаких ограничений на

Б. Функция — мексиканская шляпа. Функция под названием мексиканская шляпа является второй производной гауссиана .

Таблица 3.1. Границы фреймов вейвлетов, полученных из функции мексиканская шляпа Параметр сжатия для всех случаев, обозначает число голосов.

Если мы нормируем ее так, чтобы ее -норма равнялась 1, то получим

Эта функция (и ее сдвиги и сжатия) была изображена на рисунке 1.26. Если взять один такой рисунок и представить его вращающимся относительно оси симметрии, получится нечто, похожее на мексиканскую шляпу. Эта функция популярна в визуальном анализе (по крайней мере, в теоретической части), где она и была окрещена. В таблице 3.1 помещены границы фреймов для этой функции, вычисленные с помощью (3.3.19), (3.3.20) для различных значений и числа голосов, меняющихся от 1 до 4. Как только мы берем 2 голоса или больше,

фрейм, можно сказать, становится жестким при всех Заметим, что соответствующие 2 голосам на октаву) не являются малыми величинами для мексиканской шляпы: расстояние между максимумом и ее нулями — лишь 1, а ширина горба положительных частот для ф (измеряемая по формуле где Равна При фиксированном и малом настолько, что фрейм является почти жестким, из таблицы видно, что обратно пропорциональны Это подтверждает интуитивное предположение о том, что для жестких фреймов нормированных векторов измеряет «избыточность» фрейма (см. § 3.2), которая в самом деле удваивается, если уменьшается вдвое. С другой стороны, значения из таблицы показывают, что возрастает драматическим образом, если выбрано «слишком большим». Для каждого последнее из приведенных значений является последним значением (с шагом 0.25), для которого оценка (3.3.19) величины А является положительной. Начиная с каждого следующего совокупность возможно, уже перестает быть фреймом. Этот резкий переход с ростом от приемлемого фрейма к очень сомнительному фрейму, а затем и вовсе не к фрейму был впервые подмечен Морле (1985, личное общение) и явился одной из причин более детального математического анализа.

В. Модулированный гауссиан. Эта функция наиболее часто использовалась Кронландом-Мартином и Морле. Ее преобразованием Фурье является сдвиг функции Гаусса, слегка видоизмененной так, чтобы

Часто выбирается таким, чтобы отношение наибольшего и следующего после него максимумов приблизительно было На практике часто берется Для такого значения второй член в (3.3.26) становится столь малым, что на практике им пренебрегают. Этот вейвлет Морле является комплексным, хотя в большинстве приложений, в которых он используется, участвуют лишь вещественные сигналы Часто (см., например, Кронланд-Мартин,

Морле и Гроссман [93]) вейвлет-преобразование вещественного сигнала с таким комплексным вейвлетом представлено в форме модуль-фаза, т. е. вместо приводятся Фазовый график особенно подходит для нахождения сингулярностей (Гроссман и другие [92]). Для вещественных можно использовать чтобы вычислить границы фрейма (это аналогично сделанному в § 2.4 для вещественной

где

при

и

Конечно, эти рассуждения снова могут быть обобщены на многоголосый случай. В таблице 3.2 приведены границы фреймов для нескольких значений и числа голосов, меняющихся от 2 до 4. На практике количество голосов даже выше.

Г. Пример, который легко реализовать. До сих пор мы не задавали вопроса о том, как на практике вычисляются коэффициенты Реально задается не как функция, а как дискретная версия. Тогда для вычисления интеграла требуются квадратурные формулы. Для представляющих интерес мелких масштабов (отрицательные с большой абсолютной величиной) вычисления можно произвести быстро, поскольку в них не участвуют много значений . В случае более крупных масштабов мы имеем дело с огромными интегралами, которые могут значительно замедлить вычисления вейвлет-преобразования любой заданной функции. Для работы в режиме

Таблица 3.2. Границы фреймов вейвлетов, полученных из модулированного гауссиана где Параметр сжатия для всех случаев, обозначает число голосов.

реального времени особенно хотелось бы избежать вычисления таких длинных интегралов. Конструкция, направленная на достижение этого, так называемый «algorithme a trous», из работы Холшнайдера и соавторов [98], использует интерполяционную технику (подробности я рекомендую найти в указанной работе). Здесь я предлагаю аналогичный пример (хотя он не «а trous»), позаимствовав кусочек из кратномасштабного анализа и ортонормированных базисов (к которым мы вскоре придем), т. е. введя дополнительную функцию Главная идея состоит в следующем: предположим, что существует функция такая, что

в каждом случае число коэффициентов, отличных от нуля, может быть как угодно большим, но всегда конечным. (Такие пары имеются в изобилии; один пример приведен ниже. «Algorithme a trous» соответствует специальной для которой остальные Эта имеет интеграл, не равный нулю имеет нулевой интеграл!), и мы нормируем так, чтобы . Даже если не вейвлет, определим . Мы взяли Ясно, что

Проблема нахождения вейвлет-коэффициентов сведена к вычислению (их конечные комбинации дадут . С другой стороны,

тогда могут вычисляться рекурсивно, начиная с мелких масштабов (где они легко находятся) и переходя к крупным. Все делается с помощью простых финитных сверток.

Примером пары функций, удовлетворяющих (3.3.27), (3.3.28), является

что соответствует

Нормировочная константа взята так, чтобы . На рисунке 3.5 а приведены графики Для сравнения на рисунке 3.56

помещены гауссиан и его вторая производная. Ясно, что функция удовлетворяет (3.3.27), где все остальные в то время как

откуда

или все остальные . Для такой границами фрейма являются . Для имеем (использование означает, что рекурсивная формула, связывающая должна быть видоизменена, но это легко сделать). Здесь мы использовали только один голос. Конечно, можно выбрать несколько различных , соответствующих различным что приведет к многоголосой схеме, близкой к жестким фреймам.

Рис. 3.5. Пример, который легко реализовать. Графики (а) в сравнении с гауссианом и его второй производной (б)

Этим завершим пункт, посвященный примерам. Другие примеры приведены Добеши в [54] (включая тот, для которого вместо (3.3.11), (3.3.12) следует использовать оценки (3.3.21), (3.3.22)). Конечно, можно построить много других примеров. Вейвлеты, использованные Малла и Жонгом в работе [136], являются еще одним примером того же типа, что приведен в последнем пункте. В качестве они выбрали первую производную некоторой функции с ненулевым интегралом (так, чтобы , но ).