2.3. Ограничения на частотную и временную полосы

Функции могут иметь ограниченными как частотную, так и временную полосы: если имеет ограниченную частотную полосу (с произвольной конечной шириной полосы), то является ограничением на М целой аналитической функции. Если бы была ограничена также и по времени, то (нетривиальные аналитические функции могут иметь лишь изолированные нули). Тем не менее, многие практические ситуации соответствуют эффективному ограничению частотной и временной полос: представим, например, что сигнал передается (например, по телефону) так, что частоты выше теряются (большинство реально существующих передающих систем страдают от ограничений именно такого рода); представим также, что сигнал (например, разговор по телефону) имеет ограниченную длительность во времени. Передаваемый сигнал, таким образом, эффективно ограничен по времени и частоте. Как это может быть? И насколько хорошо функция может быть передана таким ограниченным по времени и частоте представлением? Многие исследователи работали над этими проблемами, до тех пор пока в работах Ландау, Поллака, Слепьяна [165], [119], [120] не появилось их элегантное решение. Великолепный обзор, с гораздо большим, чем приведено здесь, количеством деталей, сделан Слепьяном [163].

Приведенный здесь пример (сигнал, ограниченный во времени, передается через канал с ограниченной шириной полосы) можно моделировать следующим образом: пусть операторы ортогонального проектирования в определены ниже:

и

Тогда сигнал, ограниченный во времени, на [-Т, Т] удовлетворяет условию а его передача по каналу с шириной полосы дается конечным произведением (при условии, что других искажений нет). Оператор представляет общий процесс ограничения по времени и частоте. То, насколько хорошо передаваемый приближает исходный измеряется величиной

Максимальная величина этого отношения есть наибольшее собственное значение симметричного оператора в явном виде заданного с помощью

По счастливому обстоятельству собственные значения и собственные функции хорошо известны: коммутирует с дифференциальным оператором второго порядка А,

По разным причинам собственные функции этого оператора изучались задолго до того, как была обнаружена их связь с ограниченностью по времени и частоте. Они называются волновыми функции вытянутого сфероида, многие их свойства известны. Поскольку А и перестановочны (и поскольку все собственные значения А являются простыми), волновые функции вытянутого сфероида являются собственными функциями и для тоже (с другими собственными значениями, конечно). Более того, обозначив эти функции через и занумеровав их так, чтобы соответствующие собственные значения оператора А возрастали с ростом имеем

Конечно, собственные значения зависят от Т и . Простое масштабирование (подстановка в выражение для

Рис. 2.3. Собственные значения для при

показывает, что на самом деле зависят лишь от произведения Для фиксированного поведение с ростом схематически показано на рис. 2.3. Обычно близки к 1 для маленьких ныряют к нулю вблизи порогового значения и остаются затем близкими нулю. Более точно, для любого (произвольно малого), существует константа такая, что

Это означает, что «область нырка» имеет ширину, пропорциональную Поскольку ширина «области нырка» становится пренебрежимо малой по сравнению с при На самом деле, (2.3.2) является грубой версией того факта, что область временного и частотного ограничения соответствует степеням свободы, т. е. существует (с точностью до ошибки, малой в сравнении с независимых функций (и не более), существенно ограниченных по времени на и полосе на . Заметим, что есть в точности площадь деленная на Таким образом, это число равняется числу отсчетов по времени на ], определенному теоремой Шеннона для функций с ограниченной частотной полосой Этот эвристический способ подсчета «независимых степеней свободы» был частью фольклора теории коммуникаций задолго до того, как он был обоснован Ландау, Поллаком и Слепьяном. Независимо от этого физикам было известно, что область в фазовом пространстве пространство-импульс или время-частота, как здесь) с площадью соответствует «независимым состояниям» в полуклассическом пределе (т. е., когда S много больше

чем Н, выражение соответствует системе измерений, где Мы расширим определение плотности Найквиста, первоначально введенное в контексте отсчетов, и будем использовать ее как предельную частотно-временную плотность присутствующую во всех этих примерах.

А сейчас настало время вернуться к вейвлет-преобразованию. В последующем изложении мы разовьем понятия непрерывного вейв-лет-преобразования и оконного преобразования Фурье.