10.2. Одномерный ортогональный базис вейвлетов с целым параметром сжатия больше 2

В целях наглядности выберем 3 в качестве параметра сжатия. Кратномасштабный анализ для параметра сжатия 3 определяется точно также, как и для 2, т.е. по формулам (5.1.1)-(5.1.6), и лишь (5.1.4) заменяется на

Мы можем использовать тот же трюк, что и прежде: образуется целочисленными сдвигами одной функции, т.е. в то время как образуется с помощью или, эквивалентно, целочисленными сдвигами трех функций Пространство больше», чем необходимы два пространства «того же размера», что и чтобы дополнить и образовать нам будут нужны два пространства и два вейвлета

Снова введем по формулам

Требование ортонормированности семейства где теперь определены как

( определяются аналогично), вновь дает несколько условий ортонормированности на что можно суммировать в требование, чтобы матрица

была унитарной. Его снова можно переформулировать в терминах полифазной матрицы, убирая зависимость строк. Функции то, для которых (10.2.1) и в самом деле унитарна, были построены в явном виде в публикациях по обработке акустического речевого сигнала (см., например, Вайданатан [173]). Снова, как и в главе 6, возникает вопрос, действительно ли эти фильтры соответствуют функциям из образуют ли к ортонормированный базис и какова регулярность всех этих функций. Из главы 3 мы знаем, что обязательно должны иметь нулевой интеграл, что соответствует условию Из того, что первая строка для всех должна иметь норму, равную 1, следует, что (условие, необходимое в любом случае для сходимости бесконечного произведения

которое определяет Первый столбец (10.2.1) тоже должен иметь единичную норму для всех , и тогда влечет делится на Если, более того, желательна какая-нибудь гладкость то потребуются дополнительные нулевые моменты и в точности теми же рассуждениями, что и раньше, приходим к делимости на если Так, следует искать то вида чтобы выполнялось Если то — тригонометрический полином, это означает, что снова является решением проблемы Безу. Решения минимальной степени приводят к функциям с произвольно высокой регулярностью, однако показатель регулярности возрастает лишь логарифмически по N (Л.Вильемос, частное общение). Как только будет зафиксировано то, требуется определить Это можно сделать по схеме, объясненной Вайданатаном и соавторами в [176]. Согласно этой схеме матрица (10.2.1) (точнее, ее эквивалент в -обозначениях) записывается как произведение похожих матриц, элементами которых являются полиномы, степени намного меньшей, в котором лишь несколько параметров определяют каждую матрицу-сомножитель. При условии, что первый столбец произведения таких матриц задается заранее фиксированным то, значения этих параметров также фиксируются, и можно извлечь из произведения матриц.

Если снять требование компактности носителя, то возможны и другие конструкции. В работе Ошера [7] можно найти примеры функций из с быстрым убыванием (и бесконечным носителем).

И последнее замечание относительно параметра сжатия 3. Мы видели, что функция то обязательно должна делиться на Это выражение не обращается в ноль при (в отличие от выражения для случая с параметром 2). Однако, если мы хотим трактовать то как низкочастотный фильтр, то неплохо было бы иметь то Чтобы гарантировать это, нам нужно выполнение что означает использование чего-то другого, вместо решения уравнения Безу для наименьшей степени.

Подобные конструкции можно построить для больших целых параметров сжатия. Для не простых а подходящие могут быть

образованы из конструкций для сомножителей а, хотя не все возможные решения для а можно получить подобным образом. Для например, можно начать со схемы для параметра 2 и фильтров то и и определить фильтры (по-прежнему ортонормированные; знак пишется, чтобы отличить их от фильтров с параметром 2) с помощью

(В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что это в самом деле приводит к ортонормированному базису. Легко проверить, что аналог матрицы (10.2.1) унитарен.) Заметим, что функция одинакова для параметра 4 и параметра 2! К этому мы вернемся в § 10.5.