7.1.3. Оценки типа Литлвуда—Пэли

В этой части мы приводим и -оценки для вместо оценок поточечного убывания для самой Основной идеей является обычная техника Литлвуда-Пэли: преобразование Фурье нашей функции разбивается на диадические куски (т. е. приблизительно ) и интеграл оценивается на каждом из кусков.

Если для для Для получения оценок такой природы мы используем особую структуру как бесконечного произведения Оператор определенный в § 6.3, будет основным инструментом при выводе оценок.

Для начала ограничимся положительными тригонометрическими полиномами (Позднее возьмем , чтобы распространить наши результаты на неположительные ) Как и в § 6.3, определим оператор действующий на -периодических функциях по правилу

Этот оператор изучался Конзе и Ружи, и некоторые результаты этой части взяты из их работ [51], [50]. Схожие идеи развивались Эйролой в [75] и Вильемосом в [182]. Первая полезная лемма такова.

Лемма 7.1.10. Для всех и всех -периодических функций

Доказательство.

1. По индукции. Для

2. Предположим, что равенство (7.1.26) выполнено для Тогда оно верно для

Поскольку — положительный тригонометрический полином, его можно записать в виде

Тогда находим, что -мерное векторное пространство тригонометрических полиномов, определенное с помощью

является инвариантом для Действие можно представить как матрицу порядка которую тоже обозначим через

принимая, что если Для вида

где — тригонометрический полином, такой, что , матрица имеет очень специальные спектральные свойства.

Лемма 7.1.11. Величины являются собственными значениями для Векторные строки образуют подпространство — левый инвариант Более точно,

Доказательство.

1. Факторизация (7.1.28) эквивалентна тому, что

Более того, отсюда Это означает, что сумма каждого столбца в матрице (7.1.27) равняется 1. Тогда является левым собственным вектором с собственным значением 1.

2. Для определим

Для четного

Для нечетного

Отсюда

где

в силу (7.1.29).

Следствием леммы 7.1.11 является то, что все пространства

где будут правым инвариантом для Главным результатом этой части является следующая

Теорема 7.1.12. Пусть А обозначает собственное значение с наибольшим абсолютным значением. Определим а с помощью формул

Если

Доказательство.

1. Определим Так как для

2. Спектральный радиус равняется Так как для любого существует такая постоянная что для всех имеем

3. С другой стороны, для . Вместе с ограниченностью произведения при (что, как обычно,

выводится из это влечет

В силу рассуждения из начала этой части .

На самом деле можно доказать несколько более сильный результат. Если продолжить определение — целое) и включить в него все функции, для которых производная лежит в классе Зигмунда

то верно и то, что если — диагональная (т.е. в этом случае мы можем опустить ). Более того, и оценка гладкости, и оценка для всех из теоремы 7.1.12 являются оптимальными, если не имеет нулей на . Для доказательства см. теорему 2.7 из работы Коэна и Добеши [38].

Замечание. Такой же результат можно получить с помощью эквивалентной техники, в которой используется оператор определенный так же, как и где множитель заменен на из (7.1.28). В этом случае мы определяем и факторизуем получить

так что где Преимуществом такого метода является то, что мы непосредственно начинаем с меньшей матрицы и тогда

вычисление спектрального радиуса становится проще. Эти два метода полностью эквивалентны, что показывается следующими рассуждениями. Если собственное значение с собственной функцией то можно переписать так:

Заменяя его факторизацией в выражении

после деления на мы получаем

так что собственные значения в точности даются соотношениями

В общем случае, то не будет положительным. (На самом деле в рамках ортонормированных базисов вейвлетов то никогда не бывает положительным, за исключением базиса Хаара, см. работу Янссена Однако мы можем определить . Та же техника приводит к оценке

где — спектральный радиус . Отсюда

если Следовательно, для

Для специального вида из § 6.4 и нескольких первых значений получаются следующие а:

Эти результаты намного лучше, чем значения, полученные из поточечного убывания (см. § 7.1.2). Размер матрицы возрастает с ростом (линейно), и я не знаю другого метода установления асимптотики спектрального радиуса при Для асимптотических оценок лучшим методом является поточечное убывание