Примечания
1. В том смысле, что функции 
как и 
ортонормированы.
2. Строго говоря, лемма 6.2.2 доказывает лишь, что 
Недавняя работа Лемарье и Малгуйреса [128] показывает, что 
— непременно интервал, который в этом случае должен иметь вид 
3. Тем не менее, для кодирования изображений и видео AWARE, Inc. использует асимметричные фильтры из § 6.4 и получает превосходные результаты. Заметим также, что трудно количественно описать величину ошибки, видимую глазом. Наиболее часто употребляемая норма для измерения «расстояния» — это 
-норма, но в большей степени потому что с ней легко работать, а не по каким-то другим причинам. Все
эксперты сходятся на том, что 
-норма — не очень хороший выбор, но, насколько я знаю, согласия относительно лучшего кандидата нет.
4. Функции 
из § 6.4 не обладают этим свойством. График 
является очень плоским в окрестности 
показывая, что 
Для 
однако для фазы это не выполняется.
5. Доказать ограниченность оператора 
просто: если 
то
(по неравенству Коши-Шварца);
откуда
Аналогично доказывается ограниченность всех 
6. Мы имеем
7. Угол между двумя подпространствами определяется как минимальный угол между элементами
8. В доказательстве Коэна, Добеши и Фово из [41] для вывода (8.3.15) и (8.3.16) на 
накладывается гораздо более сильное условие убывания, а именно 
(которое, как известно, не выполняется даже для некоторых ортонормированных случаев). Приведенный здесь набросок рассуждений взят из работы Коэна и Добеши [38].
9. Производные 
то, автоматически ограничены, потому что 
имеет компактный носитель.
10. Для случая 
замечен любопытный феномен. Являясь элементом 
(а отсюда и 
), функция 2,2 на самом деле имеет сингулярность в каждой диадической рациональной точке. Тогда настоящий график 2,2 (или 
должен состоять из черных прямоугольников (поскольку наши линии имеют некоторую толщину). Но, тем не менее, на рисунке 8.6 дано приближение из 
или 
хотя и не из 
. Я бы хотела поблагодарить Вима Свелденса за указание на это.
11. Ошер в [7] и Чуй и Ванг в [34] привели другую конструкцию неортонормированных базисов вейвлетов. В ней один из двух вейвлетов (например, 
— это сплайн с компактным носителем, везде определенный точно и в явном виде. В отличие от нашей ситуации, в такой конструкции пространства 
будут ортонормированы и 
. В результате двойственный вейвлет 
имеет бесконечный носитель (компактность носителей обеих 
может достигаться лишь при отказе от ортонормированности 
и экспоненциальное убывание. Соответствующий кратномасштабный анализ будет таким же, как и в случае вейвлетов Батла-Лемарье. Вейвлет 
выбираем ортогональным В-сплайну нужного порядка и всем его целым сдвигам. Тогда 
задается с помощью соотношения 
12. Выбор рационального а приводит к полиномам 
с рациональными коэффициентами. Заметим, что изначальные иррациональные значения а не являются «священными»: сменив критерий в пункте 1, придем к несколько другим значениям а.
