3.3.2. Достаточное условие и оценки для границ фрейма

Не при каждом выборе мы получаем фреймы вейвлетов, даже если — допустимая. В этом пункте мы получим некоторые достаточно общие условия на при выполнении которых мы в самом деле получим фрейм и оценим его границы. С этой целью нам нужно оценить Имеем

(по теореме Планшереля для периодических функций)

В свою очередь

(здесь мы использовали неравенство Коши-Шварца и сделали замену переменных во втором сомножителе)

(для оценки суммы по использовали неравенство Коши-Шварца)

где Имея (3.3.9) и (3.3.10), мы видим, что

Если правые части (3.3.11) и (3.3.12) положительны и ограничены, то образуют фрейм, (3.3.11) дает значение нижней границы для значение верхней границы для В. Для этого нам нужно, чтобы для всех (остальные значения могут быть сведены к указанным значениям с помощью умножения на подходящий коэффициент исключение составляет которое образует множество меры 0 и, таким образом, не учитывается),

Дополнительно функция иметь достаточно быстрое убывание на «Достаточное» во втором условии означает, что сходится и сумма стремится к 0 при стремлении к 0, что гарантирует доминирование первых членов из (3.3.11), (3.3.12) при достаточно малых Тогда в самом деле образуют фрейм. Для выполнения этих условий достаточно потребовать, чтобы

• нули не «вступали в заговор», т. е.

для всех

Такие условия убывания для являются очень слабыми. На практике мы будем требовать гораздо большего! Если — непрерывна и убывает на то (3.3.13) становится необходимым условием: если для некоторого выполняется то можно построить такую с нормой, равной единице, что выполняется Если можно выбрать как угодно малым, то конечной нижней границы фрейма не существует. (См. работу Чуй и Ши [33], где доказан более сильный результат: следующем предложении мы суммируем все полученные результаты.

Предложение 3.3.2. Если таковы, что

и если убывает, по крайней мере, со скоростью где то существует такое что образуют фрейм для любого Следующие выражения дают значения границ этого фрейма:

Условия на (3 и (3.3.15) выполняются, если, например, где

Доказательство.

Все необходимые оценки мы уже сделали. Убывание обеспечивает существование такого что

если

Мораль этих технических оценок проста: если — «приличная» функция (предполагается разумное убывание по времени и по частоте и выполнение равенства то существует целый спектр для которых соответствующие образуют фрейм. Поскольку наши условия на влекут допустимость в смысле главы 2, то это не удивительно для значений близких 1, 0, соответственно: мы уже знаем, что формула (2.4.4) верна для всех таких значит, имеет смысл ожидать, что достаточно хорошая дискретизация переменных интегрирования не должна слишком испортить процесс восстановления. Удивляет то, что для многих представляющих

практический интерес, спектр «хороших» включает значения, достаточно далекие от . Несколько таких примеров мы рассмотрим ниже. Но вначале мы рассмотрим фрейм, двойственный к фрейму вейвлетов, и обсудим некоторые вариации базовой схемы.