3.2. Общие сведения о фреймах

Фреймы были введены Даффином и Шаффером [71] в контексте негармонических рядов Фурье (т. е. разложений функций из ) по комплексным экспонентам , где . Они также фигурировали у Юнга [188]. Приведем их определение и некоторые свойства.

Определение. Семейство функций из гильбертова пространства называется фреймом, если существуют такие что для всех из верны оценки

Назовем А и В границами фрейма.

Если границы фрейма равны, то я буду называть фрейм жестким фреймом. В жестком фрейме мы имеем для всех

что с привлечением тождества поляризации дает

или

по крайней мере в слабом смысле. Формула (3.2.2) весьма напоминает разложение по ортонормированному базису, но важно осознать, что фреймы, даже жесткие фреймы, не являются ортонормированными базисами, что может быть проиллюстрировано следующим конечномерным примером.

Пример. Возьмем (См. рис. 3.1.) Для любого ) из имеем

Рис. 3.1. Эти три вектора в образуют жесткий фрейм

Следовательно, — жесткий фрейм, который определенно не является ортонормированным базисом: три вектора очевидно, линейно зависимы.

Заметим, что в этом примере граница фрейма дает «отношение избыточности» (три вектора в двумерном пространстве). Если отношение избыточности, измеренное с помощью А, равняется 1, то жесткий фрейм становится ортонормированным базисом.

Предложение 3.2.1. Если — жесткий фрейм с границей и если для всех то образуют ортонормированный базис.

Доказательство.

Поскольку из условия для всех следует утверждение то натянуто на Осталось проверить их ортонормированность. Для любого имеем

Поскольку для всех

Формула (3.2.2) дает тривиальный способ восстановления если фрейм — жесткий. Вернемся к общему случаю фреймов и посмотрим, как там обстоят дела. Для начала введем фреймовый оператор.

Определение. Если — фрейм в то фреймовым оператором будет линейный оператор из определенный по формуле

Из (3.2.1) следует, что т.е. — ограниченный. Легко вычислить сопряженный к нему:

так что

по крайней мере в слабом смысле. (На самом деле ряд в (3.2.3) сходится по норме. Так как имеем

Из определения вытекает

В терминах условие (3.2.1) может быть переписано таким образом:

В частности, это дает обратимость согласно следующей элементарной лемме.

Лемма 3.2.2. Если положительный ограниченный линейный оператор на ограничен снизу строго положительной константой а, то обратим, и обратный к нему ограничен величиной

Доказательство.

1. для некоторой — замкнутое подпространство Это означает, что любая последовательность Коши из имеет предел в Проверим, что

Тогда где мы использовали в первом неравенстве. Но тогда необходимостью образуют последовательность Коши в Эта последовательность Коши с необходимостью имеет предел из Ввиду непрерывности мы тривиально имеем тогда

2. Ортогональное дополнение — это . В самом деле, если для всех тогда, в частности, что ввиду дает откуда Это вместе с пунктом 1 дает Следовательно, — обратим: любая может быть записана как Определим Тогда

откуда что и требовалось доказать.

Таким образом, имеем . Читатель может проверить, что на самом деле

Действуя оператором на векторы получаем новое интересное семейство векторов, обозначенных через

Семейство также оказывается фреймом.

Предложение образует фрейм с постоянными фрейма

Соответствующий фреймовый оператор удовлетворяет соотношениям является оператором ортогонального проектирования из на

Доказательство.

1. В качестве упражнения читателю предлагается получить, что если ограниченный оператор имеет ограниченный обратный то Следовательно,

откуда

Ввиду (3.2.5), получаем (3.2.6); образуют фрейм. Более того, из (3.2.7) получаем, что фреймовый оператор удовлетворяет соотношению

3. Так как . Мы также имеем откуда Следовательно, Пусть будет оператором ортогонального проектирования на Мы хотим доказать, что а это эквивалентно утверждениям не изменяет элементы из для всех с, ортогональных Оба утверждения легко проверить:

и

Назовем фреймом, двойственным к Легко проверить, что фреймом, двойственным к снова будет Мы можем записать некоторые утверждения из предложения 3.2.3 в несколько менее абстрактной форме. Утверждение означает, что

Так, мы имеем формулу для восстановления по . В то же время мы получили средство для представления в виде суперпозиции Это доказывает, что два множества вопросов из § 3.1 на самом деле «двойственны». Нам остается лишь вычислить чтобы применить (3.2.8), имея заданный фрейм . В скором времени мы вернемся к этому. Для начала обратимся к вопросу, который часто возникает в этом месте: удивляет, что фреймы, даже жесткие, в общем случае не являются (ортонормированными) базисами, поскольку обычно не являются линейно независимыми. Это означает, что для заданной существует много различных суперпозиций каждая из которых сходится к Что же ставит в особый ряд формулу из второй части Следующий простой пример дает намек на то, каким может быть ответ.

Пример. Вновь рассмотрим простой пример с рисунком 3.1. Для любого и мы имели

Так как в этом примере, то следующие формулы также верны:

где а — произвольная постоянная из С. (В этом конкретном случае можно доказать, что (3.2.10) дает все возможные суперпозиции, справедливые для произвольной ) В каком-то смысле (3.2.9) выглядит более «экономичной», чем (3.2.10), если Это интуитивное утверждение можно сделать более точным следующим образом:

тогда как

Аналогично, — наиболее «экономичные» коэффициенты в разложении

Предложение 3.2.4. Если для некоторой с и если не все равны то

Доказательство.

1. Утверждение эквивалентно

2. Запишем , где . В частности, тогда

3. Поскольку а существует такая что или . Отсюда . Но так что . Следовательно, откуда и

что строго больше, чем если только не выполнено

Это предложение также может быть использовано с тем, чтобы увидеть, что играют особую роль в первой половине формулы (3.2.8). Обычно здесь мы имеем неединственность: может существовать много других семейств таких, что ) В нашем двумерном примере, рассмотренном ранее, эти семейства задаются так: , где а — произвольный вектор из . Поскольку мы, очевидно, имеем

Опять, однако, эти «менее экономичны», чем в том смысле, что для любой ,

Подобное неравенство выполняется для каждого фрейма: если

следует из предложения 3.2.4.

Вернемся к вопросам восстановления. Если мы знаем то (3.2.8) позволяет восстановить по Значит, нам нужно только вычислить для чего необходимо знать оператор, обратный к Если В и А близки, т. е. то (3.2.4) говорит, что «близок» тогда «близок» «близки» Более того,

где в откуда . Это дает Если мало, можно опустить оставшийся член в (3.2.11). Так мы получаем формулу восстановления для с точностью до ошибки в . Даже если не столь мало, мы можем написать алгоритм для восстановления сходящийся экспоненциально. Пусть определен так же, как и выше. Тогда мы имеем откуда Поскольку то ряд сходится в норме и является его пределом.

Следовательно,

Используя лишь член нулевого порядка из формулы восстановления, мы приходим к (3.2.11), где остальные члены опущены. Лучшие приближения получаются, если оставлять первые членов

где

что имеет экспоненциальный порядок убывания с ростом поскольку . В частности, можно вычислить с помощью итеративного алгоритма

или

где

Это может выглядеть устрашающе, но в примерах, представляющих практический интерес, где многие являются пренебрежимо малыми, этого не происходит. Такую же итеративную технику можно применить непосредственно к

где

Теперь, после тщательного изучения вопросов, относящихся к абстрактным фреймам, вернемся к рассмотрению дискретных вейвлетов.