8.3.5. Биортогональные базисы, близкие ортонормированному базису

Первый пример такого семейства был предложен М. Барло. Его исследовательская группа, работающая в области анализа зрения, испытывала фильтры из § 6А, 6Б для кодирования изображений (см. работу Антонини и соавторов [2]). Заметив популярность пирамидальной схемы Лапласа (Барт и Аделсон [27]), Барло заинтересовался, можно ли

Рис. 8.8. Функции соответствующие случаю из таблицы 8.3

построить двойственную систему вейвлетов, используя пирамидальный фильтр Лапласа типа то или то. Эти фильтры явно задаются с помощью формулы

Для рассмотрение сводится к сплайновому фильтру описанному выше в «примерах сплайнов» В приложениях, связанных с визуализацией, выбор особенно популярен: хотя соответствующая и имеет меньшую регулярность, чем это, по-видимому, приводит к лучшим, с точки зрения зрительного восприятия, результатам. Следуя предложению Барло, мы выбираем в (8.3.27) или

Кандидаты на роль двойственного такому то, должны удовлетворять равенству

Рис. 8.9. (см. скан) Функции соответствующие случаю из таблицы 8.3

Как показано в § 8.4.4, полином то можно выбрать симметричным (поскольку симметричен ). Мы также выбираем делящийся на

Таблица 8.3. (см. скан) Коэффициенты то, то для трех случаев «вариаций сплайнов» с фильтрами схожей длины для и 5 (см. текст). Для каждого фильтра нам также известна кратность множителя (обозначены через Как и в таблице 8.2 умножение этих значений на дает коэффициенты фильтров

(тогда соответствующие имеют по два нулевых момента). Другими словами,

где

По теореме 6.1.1 в силу симметричности этого уравнения относительно замены х на 1 — х, оно имеет единственное решение Р порядка 2, которое, как легко находится, имеет вид

Рис. 8.10. Графики для биортогональной пары, построенной по низкочастотному фильтру Барта-Аделсона

Таблица 8.4. Коэффициенты фильтров для двойственного ему фильтра вычисленных в этой части, и очень близкого фильтра соответствующего ортонормированному базису койфлетов {см. коэффициенты для в таблице 8.1).

Так приходим к выражению

Можно проверить, что и (8.3.28), и (8.3.29) удовлетворяют всем условиям из § 8.4.2. Следовательно, полиномы то и то на самом деле соответствуют паре биортогональных базисов вейвлетов. На рисунке 8.10 показаны графики соответствующих Все четыре функции непрерывны, но не дифференцируемы. Очень удивительно, как похожи или Первопричиной этого является схожесть то и то, которая не следует немедленно из (8.3.27) и (8.3.30), но становится очевидной после сравнения явных численных значений коэффициентов фильтров из таблицы 8.4. На самом деле оба фильтра очень близки (обязательно несимметричному) фильтру, соответствующему одному из ортонормированных койфлетов (см. § 8.3), которые мы снова приводим для сравнения в третьей колонке таблицы 8.4. Эта схожесть то и ортонормированного вейвлет-фильтра объясняет, почему двойственный к фильтр так схож с самим то. Первое применение этих биортогональных базисов, связанных с пирамидой Лапласа, для анализа изображений описано у Антонини и соавторов в [2].

Предложение М. Барло привело к случайному открытию того, что фильтр Барта очень близок ортонормированному вейвлет-фильтру. (Интересно, будет ли фильтр Барта при этом столь же эффективным в приложениях?) Этот пример предполагает, что другие биортогональные базисы с симметричными фильтрами и рациональными коэффициентами фильтров, вероятно, могут быть построены с помощью аппроксимации и «симметризации» существующих ортонормированных вейвлет-фильтров и вычисления соответствующего двойственного фильтра. Коэффициенты койфлета из § 8.3 получены методом, который естественным образом привел к фильтрам, близким к симметричным. Поэтому естественно ожидать, что симметричные биортогональные фильтры, близкие ортонормированному базису, фактически будут близки этим базисам койфлетов. Тогда из проведенного в § 8.3 анализа следует, что

В частности, для нижеприведенных примеров мы выбрали

и затем следовали данной процедуре:

1. Находим такое а, чтобы интеграл был минимальным (ноль в нижеприведенных примерах). Этот критерий оптимизации, конечно, можно заменить другими критериями (например, минимизировать сумму квадратов всех коэффициентов Фурье выражения вместо лишь одного коэффициента при . Для случаев значениями для а будут соответственно.

2. Заменим это (иррациональное) «оптимальное» значение для а близким значением, выраженным в виде простой дроби. Для наших примеров мы взяли в случае для для Для это сводится затем к вышеприведенному примеру.

3. Поскольку теперь полином то зафиксирован, мы можем вычислить Если мы потребуем от то делимости на то можем записать, что

где — полином степени . Рассуждения Добеши из [34] показывают, что

Таким образом, К из коэффициентов определены. Остальные можно легко вычислить. Для и 3 мы находим

В таблице 8.5 помещены явные численные значения коэффициентов фильтров для то и ближайшего койфлета при и 3. Мы привели графики для обоих случаев на рисунке 8.11. Следует

Таблица 8.11. (см. скан) Графики соответствующие таблице 8.5

заметить, что вычисление биортогональных фильтров с помощью вышеприведенной процедуры намного проще, чем вычисление ортонормированного койфлет-фильтра, приведенное Добеши в [54]! Это

Таблица 8.5. (см. скан) Численные значения фильтров то, то для биортогоналъных базисов, близких койфлетам для случаев и 3 {см. текст). В третьей колонке помещены коэффициенты ортонормированного фильтра койфлетов, которому очень близки то и то. Чтобы облегчить сравнение, мы представили все коэффициенты в десятичной системе. На самом деле коэффициенты то и то рациональны.

иллюстрирует большую гибкость конструкции биортогональных базисов вейвлетов по сравнению с ортонормированными базисами вейвлетов.