2.2. Множество функций с ограниченной частотной полосой, как особый случай гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром

Для любых множество функций

образует замкнутое подпространство пространства т. е. оно является подпространством, и любая последовательность Коши, составленная из элементов этого подпространства, сходится к элементу из этого же подпространства. Вследствие унитарности преобразования Фурье, определенного на множество функций с ограниченной частотной полосой

является замкнутым подпространством в По теореме Пэли-Винера (см. предварительные сведения) любая функция из имеет

аналитическое продолжение до целой функции на С, которую мы также обозначаем имеющей экспоненциальный тип. Более точно,

На самом деле, состоит именно из таких функций из для которых существует аналитическое продолжение до целой функции, удовлетворяющей оценке такого типа. Таким образом, мы можем считать гильбертовым пространством целых функций. Для из мы имеем

(Смена порядка интегрирования на последнем шаге допустима, если т. е. если — достаточно гладкая. Поскольку для всех лежит в это заключение распространяется на все из обычным приемом, описанным в предварительных сведениях.) Вводя обозначение мы можем переписать (2.2.1) как

Заметим, что поскольку для для

Формула (2.2.2) типична для гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром (г.п.в.я.). В г.п.в.я. отображение, ставящее функции в соответствие ее значение в точке х, есть непрерывное отображение (это не выполняется в большинстве функциональных гильбертовых пространств, в частности, в самом так что с необходимостью существует такое, что для всех (по теореме Рисса, см. предварительные сведения). Пишется также, что

где воспроизводящее ядро (reproducing kernel). В частном случае существуют даже специальные такие, что образуют ортонормированный базис для приводящий к формуле Шеннона (2.1.2). Такие специальные не обязательно существуют в общем случае г.п.в.я. Мы встретимся с примерами других г.п.в.я. позднее.