6.2. Связь с ортонормированными базисами вейвлетов

Мы начнем с вывода формулы для кандидата на роль масштабирующей функции . Как только это будет сделано, мы проверим, когда этот кандидат на самом деле определяет кратномасштабный анализ.

Если тригонометрический полином связан с кратномасштабным анализом, как это описано в § 5.1, а соответствующая масштабирующая функция принадлежит то для всех

(См. (5.1.17). Непрерывность и то позволяет нам опустить «п. в.».) Более того, из замечания 3, следующего после предложения 5.3.2, мы знаем, что обязательно выполняется откуда . В силу (6.1.1) это в свою очередь влечет Следовательно, для всех к

Поскольку (см. (5.1.19)), это фиксирует нормировку или Удобно так выбрать фазу чтобы Принимая все это во внимание, из (6.2.1) получаем, что

Такое бесконечное произведение имеет смысл: так как удовлетворяет неравенству

откуда

Тогда бесконечное произведение в правой части (6.2.2) сходится абсолютно и равномерно на компактных множествах.

Все это применяется в общем случае как только имеет достаточное убывание. В рассматриваемом случае то — тригонометрический полином (лишь конечное число отлично от нуля), и мы ищем с компактным носителем. Вместе с очевидным ограничением компактность носителя для означает, что значит, вышеприведенные рассуждения применимы. Тогда (6.2.2) —

единственно возможный кандидат (с точностью до постоянного фазового множителя) на роль масштабирующей функции, соответствующий тригонометрическому полиному то, построенному в § 6.1. Теперь нам надо проверить, что удовлетворяет некоторым основным требованиям на масштабирующую функцию. Прежде всего, интегрируема с квадратом:

Лемма 6.2.1 (Малла [132]). Если -периодическая функция удовлетворяет (6.1.1), а произведение сходится п. в., то его предел принадлежит -Доказательство.

1. Определим где если в противном случае. Тогда поточечно п. в.

2. Более того,

3. Следовательно, для всех к

Поэтому, по лемме Фату,

Далее, поскольку то — тригонометрический полином, следующая лемма, позаимствованная из работы Делорье и Дюбука [67], доказывает, что имеет компактный носитель.

Лемма 6.2.2. Если где то — это целая функция экспоненциального типа. В частносты, ока является преобразованием Фурье распределения с носителем, принадлежащим

Доказательство.

По теореме Пэли-Винера для распределений достаточно доказать, что является целой функцией экспоненциального типа, удовлетворяющей оценкам

с некоторыми Мы докажем лишь первую оценку, вторая оценка полностью ей аналогична. Определим

Тогда

и нам нужно доказать лишь полиномиальную оценку для при При мы имеем

Выберем произвольное Если то

Если то существует такое , что и

Комбинируя (6.2.3) для и (6.2.4) для устанавливаем необходимую полиномиальную оценку.

Продолжим далее. Всего этого недостаточно, тем не менее, чтобы определить настоящую масштабирующую функцию. Контрпримером является

Эта функция удовлетворяет (6.1.1), причем Подставляя ее в (6.2.2), приходим

или

Такая масштабирующая функция не «хороша»: функции не являются ортонормированными, хотя то удовлетворяет (6.1.1). Можно взглянуть на это по-другому, заметив, что (5.1.19) не выполняется:

Это означает, что для и тогда не выполняется даже не являются даже базисом Рисса для натянутого на них пространства.

Чтобы избежать неудач подобного сорта, мы должны наложить дополнительные условия на гарантирующие, что порождает истинный кратномасштабный анализ. Эти условия дают

для всех . Как только выполняется (6.2.5), работает и все прочее: пространства образуют кратномасштабный анализ (см. § 5.3.2), в каждом функции образуют ортонормированный базис. Определим с помощью

которая автоматически имеет компактный носитель, поскольку его имеет и лишь конечное число отлично от нуля. Тогда семейство образует ортонормированный базис для из вейвлетов с конечными носителями.

Прежде чем приступить к условиям на то, которые гарантируют выполнение (6.2.5), сделаем интересное замечание. Даже если условие (6.2.5) не выполнено, функция определенная с помощью (6.2.6), все же порождает жесткий фрейм, что доказано Лоутоном в [121].

Предложение 6.2.3. Пусть — тригонометрический полином, удовлетворяющий (6.1.1) и . Пусть также являются функциями из с компактными носителями, определенными с помощью (6.2.2), (6.2.6). Как обычно, определим Тогда для всех

т.е. образуют жесткий фрейм для

Доказательство.

1. Во-первых, напомним, что (6.1.1) можно переписать так:

(см. 5.1.39)).

2. Выберем из функцию с компактным носителем. Тогда сходится для всех к

Выберем К так, чтобы пересечение было пустым, если к К. Тогда

Аналогично, ряд сходится для всех

3. Поскольку мы имеем

Легко проверить, что правая часть (6.2.9) абсолютно суммируема (используем, что лишь конечное число не равняется нулю), тогда мы можем поменять порядок суммирования.

4. Если то — четные, мы имеем

Аналогично, если — нечетные, , тогда

5. Если , то

6. Отсюда получаем

для всех Следовательно,

Продолжая, имеем

7. Оценки, сходные с оценками из пунктов 3 и 4 доказательства предложения 5.3.1, показывают, что для выбранной непрерывной

с компактным носителем верна оценка где произвольно малое, если достаточно велико зависит от и . Аналогично, оценка из пункта 3 доказательства предложения 5.3.2 приводит к

где если достаточно велико. Поскольку непрерывна в первое слагаемое в правой части (6.2.11) сходится к при (по теореме об интегрируемости предела: для всех , поскольку в силу . Сочетая все это с (6.2.10), мы имеем

для всех функций из имеющих компактный носитель. Поскольку они образуют плотное множество в результат переносится на все обычными рассуждениями о плотных множествах.

Не накладывая каких-либо дополнительных условий на то, мы уже имеем жесткий фрейм с постоянной, равной единице. Согласно предложению 3.2.1, этот фрейм является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда (используем, что Для всех к или, что эквивалентно, если для всех к . В свою очередь это условие эквивалентно Используя (следствие (6.2.6)), его можно переписать в виде:

где Это эквивалентно

Мы имеем где тогда является полиномом по степени . С другой стороны,

где если поскольку . Следовательно, является полиномом по степени Однако в силу становится нулем, как только превращается в нуль не имеют общих нулей), тогда этот полином имеет по крайней мере нулей (с учетом кратности). Так как степень его равна он должен тождественно равняться нулю, т.е. или

Это является другим методом получения того, что условие (6.2.5) необходимо и достаточно, чтобы образовывали ортонормированный базис.

В неортонормированном примере, который мы рассмотрели выше, и (6.2.6) для приводит к функции

В этом случае на самом деле не нормирована, Если мы определим то функции фстановятся нормированными и образуют жесткий фрейм с константой 3: «избыточность» этого каркаса равняется 3. Это перестает удивлять, как только мы поймем, что семейство можно рассматривать как объединение трех сдвинутых копий «вытянутого» базиса Хаара:

где

Вернемся, однако, к условию (6.2.5),

или его эквиваленту

Было разработано несколько стратегий, относящихся к условиям на то, которые обеспечивают выполнение (6.2.5) или (6.2.14). В большинстве из этих стратегий доказывается, что усеченные функции введенные в доказательстве леммы 6.2.1 (или некоторые другие усеченные семейства) сходятся к не только поточечно, но также и в Поскольку нетрудно показать, что для каждого фиксированного к функции являются ортонормированными, такая -сходимость автоматически влечет (6.2.14). Условиями на то, достаточными для обеспечения такой -сходимости, являются, например,

или

где

Ни одно из этих условий не является необходимым, однако оба охватывают много интересных примеров. Лучшие, чем (6.2.16), оценки приводят к регулярности для . К этому мы вернемся в главе 7. Позже были найдены необходимые и достаточные условия на то. Подробно мы обсудим это в следующем пункте.