5.2. Примеры

Посмотрим, что для кратномасштабного анализа Хаара дает (5.1.34). В этом случае для в противном случае. Тогда

Следовательно, или

Мы получили базис Хаара, что не удивительно: в § 1.6 мы уже видели, что этот базис вейвлетов связан с кратномасштабным базисом Хаара.

Базис Мейера тоже хорошо вписывается в эту схему. Чтобы понять это, определим с помощью

где — гладкая функция, удовлетворяющая (4.2.4) и (4.2.5). График приведен на рисунке 5.2. Простым следствием (4.2.5) является равенство что эквивалентно ортонормированности (см. § 5.2). Определим как замкнутое подпространство,

Рис. 5.2. Масштабирующая функция для базиса Мейера, где

натянутое на это ортонормированное множество. Аналогично определим как замкнутое пространство, натянутое на удовлетворяет (5.1.1) тогда и только тогда, когда т. е. когда существует такая -периодическая функция то, интегрируемая с квадратом на , что

В этом частном случае можно легко построить по самой Она -периодична, принадлежит и

Проверку того, что также удовлетворяет свойствам (5.1.2), (5.1.3), я оставляю читателю в качестве (легкого) упражнения и (5.1.5) выполняются тривиально, см. также § 5.3.2). Теперь применим (5.1.29) для нахождения

Рис. 5.3. Графики для кратномасштабного анализа Мейера; их произведением является (см. также рис. 4.2.)

(для всех остальных носители двух множителей не перекрываются). Легко проверить (см. также рис. 5.3), что это эквивалентно (4.2.3). Фазовый множитель который был необходим для «чудесных сокращений» в § 4.2, появляется здесь естественным образом как следствие общего анализа из § 5.1.

Перед обсуждением других примеров нам нужно ослабить условие (5.1.6).