3.5. Частотно-временная локализация

Одной из главных причин изучения вейвлет-преобразования (или оконного преобразования Фурье) явилась возможность с их помощью получить частотно-временную картинку с хорошими (можно надеяться) свойствами локализации по обеим переменным. Несколько раз мы

утверждали, что если сама хорошо локализована по времени и частоте, то фрейм, порожденный наследует это свойство. В этом пункте мы хотим сделать это расплывчатое заявление более четким.

Из соображений удобства предположим симметричными (это выполняется, если, например, — вещественна и симметрична. Хорошим примером является функция мексиканская шляпа). Тогда сосредоточена около 0 по времени и по частоте (где, например, Если хорошо локализована по времени и частоте, то тоже будут хорошо локализованы вокруг по времени и вокруг по частоте. Говоря интуитивно, тогда представляют «информационное содержание» в окрестности времени и частот Если сама «существенно локализована» на двух прямоугольниках в пространстве время-частота, что означает для некоторых выполнение оценок

где — некоторое малое число, то интуитивно кажется, что для восстановления с хорошей точностью необходимы лишь те соответствующие для которых лежат внутри или близко к . В следующей теореме утверждается, что это и в самом деле так, и этим подтверждается наше интуитивное предположение.

Теорема 3.5.1. Предположим, что образуют фрейм с границами А, В и что выполняются оценки

для некоторых а Тогда для любого существует конечное множество такое, что для всех

Замечание.

1. Если удовлетворяет условиям (3.5.1) и (3.5.2), то первые два члена из правой части (3.5.3) ограничены Выбор приводит к

Рис. 3.7. Множество точек вейвлет-решетки , необходимое для приближенного восстановления если главным образом локализована на по времени и на по частоте

2. Если то доказательство ниже): абсолютная точность достигается, если используется бесконечно много

Рисунок 3.7 схематически изображает множество для одного частного значения е. Из доказательства будет видно, как мы получили такую фигуру.

Доказательство.

1. Определим множество следующим образом:

где то, и определенные ниже, зависят от . Точки соответствующие из такого множества, на самом деле заполняют фигуру, подобную рисунку 3.7.

где мы ввели для в противном случае, и в противном случае. Поскольку образуют фрейм с границами мы имеем

(потому что Аналогично,

Осталось проверить, что два других члена из (3.5.5) могут быть ограничены с помощью

3. С помощью того же «приема» Коши-Шварца мы сведем оставшиеся два члена из (3.5.5) к

Таким образом, достаточно показать, что для подходящих то, каждое из выражений в квадратных скобках меньше, чем

4. С первым членом из (3.5.6) мы справимся, используя технику из доказательства предложения 3.3.2:

где выбирается ниже. Поскольку выражение ограничено равномерно по мы имеем

Подставляя эту оценку в (3.5.7), находим

Сумма по I сходится, если т. е. если . Например, мы можем выбрать . С другой стороны, для получим

и

Во всех этих оценках постоянные возможно, зависят от и , но не от Подставляя эту оценку с в (3.5.8), приходим к

Если и то то получаем искомое:

5. Со вторым членом из (3.5.6) дело обстоит проще. Имеем

Суммирование по разбивается на две части, Пусть будет наименьшим целым значением, превосходящим Тогда

С суммой по поступаем так же. Следовательно,

что можно сделать меньше, чем выбрав

Этим завершается доказательство.

Оценки для следующие из этого доказательства, являются очень грубыми. На практике можно получить гораздо менее грубые значения, если убывают быстрее, чем было заявлено в теореме (см. Добеши [54], стр. 996).

Для последующего использования оценим как функцию и . Находим

С другой стороны, площадь частотно-временной области равна Если то получаем

что не является независимым от е. Мы вернемся к этому в главе 4.

Теорема 3.5.1 говорит, что фрейм, образованный функцией разумно убывающей по времени и по частоте, на самом деле демонстрирует свойства частотно-временной локализации, по крайней мере, по отношению к частотно-временным множествам вида На практике интерес представляет локализация на многих

других множествах. Например, чирп-сигнал интуитивно соответствует диагональной области (возможно, искривленной) на частотно-временной плоскости, и его восстановление могло бы быть возможным с использованием лишь таких для которых лежит в этой или близкой к ней области. Так оно и происходит на практике (для чирпов и многих других сигналов). Труднее сформулировать это в виде точной теоремы, в основном, потому что необходимо прийти к соглашению относительно формализации значения «локализация» на описанном частотно-временном множестве, когда это множество не является объединением прямоугольников, как в теореме 3.5.1. Если мы изберем интерпретацию в терминах операторов определенных в § 2.8 (т.е. в основном локализована на если ), то теорема является почти тривиальной, если вейвлеты из определения и из фрейма имеют хорошее убывание. Для любой другой процедуры частотно-временной локализации (например, с использованием распределений Вигнера или аффинных распределений Вигнера из работы Бертрана и Бертрана [23]), мы по-прежнему ожидаем результатов, сходных с результатами из теоремы 3.5.1, но их доказательство будет зависеть от выбранной процедуры локализации.

Для оконного преобразования Фурье имеет место абсолютно такая же теорема о локализации.

Теорема 3.5.2. Предположим, что образуют фрейм с границами А, В и выполняется

для некоторого Тогда для любого существуют такие что для всех и всех справедливо следующее

Доказательство.

1. С помощью приемов из пунктов 2, 3 доказательства теоремы 3.5.1 получим

где для в противном случае, и для в противном случае. Теорема будет получена, если нам удастся доказать, что два последних слагаемых в (3.5.12) могут быть ограничены величиной Вначале сосредоточим усилия на последнем слагаемом.

Легко доказывается, что вклад для в точности равняется вкладу для Мы можем ограничиться только отрицательными за счет множителя 2. Переопределяя для положительных I, мы видим, что можем ограничиться также и отрицательными I. Отсюда

Однако для любых имеем

Следовательно,

Рис. 3.8. Множество точек решетки необходимых для приближенного восстановления с помощью оконного преобразования Фурье функции, локализованной в основном на по времени и по частоте

Пусть будет наименьшим целым числом, превосходящим Тогда

ввиду вычислений, помещенных выше. Собирая все вместе, имеем

где зависит от , но не от Т (или

3. Аналогичным образом доказывается

Поскольку понятно, что при подходящем выборе (не зависящих от Т или ) (3.5.15), (3.5.16) становятся меньше, чем . Это завершает доказательство.

Рисунок 3.8 схематически представляет (то, такие, что в сравнении с частотно-временным прямоугольником Очертания «е-множества» отличаются от представленных на рисунке 3.7.

Снова вычислим число точек в расширенном множестве с площадью в пределе для больших

В отличие от вейвлет-случая этот предел не зависит от е. В главе 4 мы вернемся к обсуждению смысла этого факта.