7.4. Регулярность или нулевые моменты?

Примеры из предыдущего параграфа показывают, что при фиксированной ширине носителя или, эквивалентно, при фиксированной длине фильтров в соответствующей схеме субполосного кодирования, выбор приводящий к максимальной регулярности, отличается от

Рис. 7.4. Масштабирующая функция для конструкции наиболее регулярного вейвлета с шириной носителя 3

Рис. 7.5. Масштабирующая функция для конструкции наиболее регулярного вейвлета с шириной носителя 5

выбора, приводящего к максимальному числу нулевых моментов Тогда возникает вопрос: что более важно, нулевые моменты или регулярность? Ответ зависит от приложения и не всегда ясен. Бейлкин, Койфман и Рохлин в [24] использовали ортонормированные вейвлеты с компактными носителями для сжатия больших матриц, т. е. для приведения их к разреженному виду. С деталями этого приложения читатель может ознакомиться в первоисточнике или главе, написанной Бейлкиным, из [159]. Одной из причин, заставивших их метод работать, является число нулевых моментов. Предположим, что вы хотите разложить функцию на вейвлеты (строго говоря, матрицы следует моделировать функцией от двух переменных, но для иллюстрации достаточно

точно и проще рассматривать одну переменную). Вы вычисляете все вейвлет-коэффициенты и для сжатия всей этой информации отбрасываете все коэффициенты меньше некоторого порогового значения е. Посмотрим, что это означает для некоторого мелкого масштаба: при этом и — «большое». Если из имеет нулевых моментов, то для х вблизи имеем

где ограничена. Если это умножить на и проинтегрировать, то первые слагаемых не дают вклада, потому что Следовательно,

Для больших эта величина является пренебрежимо малой, если только значение вблизи к не будет очень большим. Тогда после сравнения с пороговым значением мы оставим вейвлет-коэффициенты на мелких масштабах лишь вблизи сингулярностей или ее производных. Эффект будет более существенным, если число нулевых моментов ф, велико. Заметим, что регулярность не играет никакой роли в этих рассуждениях. Похоже, что в приложениях, подобных рассмотренным Бейлкиным, Койфманом и Рохлиным в [24], число нулевых моментов гораздо более важно, чем регулярность

Для других приложений регулярность может быть более значима. Предположим, вы хотите сжать информацию, содержащуюся в изображении. Вновь вы разлагаете на вейвлеты (двумерные вейвлеты, т. е. связанные с кратномасштабным анализом, полученным с помощью тензорного произведения) и отбрасываете все маленькие коэффициенты. (Я излагаю достаточно примитивную процедуру. На практике точность коэффициентов выбирается разной для разных коэффициентов в соответствии с правилами квантования.) Вы окончательно приходите

к представлению вида

где — лишь (малое) подмножество всех возможных значений, выбранных для функции I. Сделанные ошибки будут состоять из совокупности выброшенных Если они являются очень нерегулярными объектами, то разница между может быть более ощутимая, чем в случае гладкой Эти рассуждения весьма не строги, но они предполагают, по крайней мере, что требуется некоторая регулярность. Несколько первых экспериментов, проведенных Антонини и соавторами [2], видимо, подтверждают это, но для убедительного ответа нужно большее количество экспериментов.

Правила сумм (7.2.20), эквивалентные делимости на имеют другое интересное следствие. В подробно изученном примере мы видели, что (7.2.13) и (7.2.14) предполагают, что

(мы доказали результат для тогда он верен и для ), или, в терминах

для всех . Поскольку легко проверяется, что для всех получаем

Все полиномы степени меньшей или равной 1 могут быть записаны в виде линейных комбинаций Что-то похожее происходит и в общем случае: условия (7.2.20) гарантируют, что все полиномы степени меньшей или равной могут быть образованы линейными комбинациями (См. работы Фикса и Стренга [80] и Каваретты, Дамена и Мичелли [29].) Это снова можно использовать для объяснения, почему условия применяются в схемах субполосной фильтрации. В идеале хочется, чтобы низкочастотный канал после фильтрации содержал все медленно меняющиеся характеристики,

а с помощью другого канала находились лишь истинные «высокочастотные» характеристики. Полиномы низкой степени являются существенно медленно меняющимися особенностями, и правила сумм (7.2.20) гарантируют, что они (или их ограничения на большой интервал для того, чтобы остаться в здесь мы не обращаем внимания на краевые эффекты) принадлежат каждому т.е. полностью задаются низкочастотным каналом.

При разработке КИХ-фильтров для субполосного кодирования числу нулевых моментов то не обязательно уделять много внимания, что отражается в «плоскости» фильтра около Следовательно, уже другое рассуждение показывает, что в приложениях с каскадными фильтрами, тем не менее, важно иметь по крайней мере несколько нулевых моментов. Предположим, к некоторому сигналу мы последовательно трижды применим низкочастотную фильтрацию децимацию. Если первоначальный сигнал назовем а преобразование Фурье результатом одного шага действия «фильтрация децимация» будет последовательность где вычисляется по формуле

Второй член можно рассматривать как результат перекрытия частот в силу недостаточной частоты выбора значений в . Аналогичным образом, три подобные операции приводят к формуле

Следовательно, произведение играет важную роль. Рисунок 7.6 показывает, как это произведение выглядит для идеального низкочастотного фильтра, Для для . Если низкочастотный фильтр не идеален, то он немного «протечет» в область высоких частот . Тогда важно погасить эту протечку, особенно если фильтры каскадные; она влияет на «периодизирован-ные» члены из (7.4.1) и может привести к видимому или слышимому искажению, как только вводится квантование и идеальное восстановление больше не достижимо. В идеальном случае, изображенном на

Рис. 7.6. Графики и их произведение для идеального низкочастотного фильтра

рисунке 7.6, «горб» для исчезает в произведении потому что на этом интервале. То же происходит для дополнительных «горбов» и приводит к выполнению соотношений если если . В неидеальном случае подобный эффект достигается в предположении, что то имеет ноль разумной кратности в из-за чего исчезает максимум в цепочке фильтров. Этот феномен продемонстрирован на рисунке 7.7, где вейвлет-фильтр сравнивается с не-вейвлетным фильтром идеального восстановления. На рисунке 7.7 а мы видим графики Для Двух ортонормированных фильтров идеального восстановления (т.е. ) каждый с восемью отводами. Фильтр слева соответствует примеру, построенному в § 6.4, с двумя нулевыми моментами (т. е. то имеет нуль кратности 2

Рис. 7.7. Сравнение трех цепочек для двух низкочастотных -отводных фильтров со свойством идеального восстановления: (а) графики графики увеличения (б) на

и дополнительным нулем в Фильтр справа не является вейвлет-фильтром, поскольку и тогда Он построен скорее в соответствии с обычными представлениями, с помощью концепции «равной пульсации». В этом случае расположение узлов выбирается так, чтобы амплитуда двух лепестков была такой же, как и амплитуда одного лепестка в вейвлет-фильтре слева. При этом пропускная полоса берется настолько узкой, насколько это возможно для такого ограничения. Итоговый фильтр будет несколько круче, чем вейвлет-фильтр (его первый нуль расположен в вместо для примера с вейвлетом) и более походит на идеальный фильтр. (Конечно, они оба достаточно далеки от идеального случая, но вспомним, что мы использовали лишь восемь отводов!) На рисунке 7.7б изображены произведения для двух этих примеров, а на

рисунке 7.7в — их увеличения в области Ясно, что во втором (не вейвлет) случае протечка в область высоких частот более существенна, чем в случае вейвлетов. Это верно и в -смысле, и в смысле амплитуды (наивысший пик справа примерно на 3 децибелла выше, чем пик слева). Этот эффект может стать еще более заметным, когда рассматриваются большие фильтры.