Предварительные сведения и обозначения

В этой вводной главе мы зафиксируем обозначения и нормировки. Здесь же приведем некоторые основные теоремы, которые затем будут использованы в книге. Для тех, кто не очень хорошо знаком с гильбертовыми и банаховыми пространствами, помещаем очень краткий «букварь». (Его следует использовать, в основном, как ссылку, к которой нужно обратиться в тех случаях, когда читатель встречается с языком гильбертовых и банаховых пространств, с которым он (или она) не знаком. В большинстве глав эти понятия не используются.)

Начнем с некоторых соглашений относительно обозначений. Для мы пишем для обозначения наибольшего целого, не превосходящего

Например, Аналогично, — наименьшее целое число, большее или равное

Если то мы обозначим через любую величину, ограниченную некоторой постоянной, умноженной на а, и через любую величину, которая стремится к 0 (или вместе с .

Окончание доказательства помечается значком , для ясности многие замечания или примеры завершаются значком .

Во многих доказательствах С обозначает постоянную, которая не обязательно имеет одно и то же значение на протяжении всего доказательства. В цепочке неравенств я часто использую или чтобы избежать недоразумений.

Мы используем следующее соглашение относительно преобразования Фурье (в одномерном случае):

С такой нормировкой имеем

где

Обратное преобразование Фурье определяется как

Строго говоря, (0.0.1), (0.0.3) корректно определены, если соответственно являются абсолютно интегрируемыми. Для общего случая следует определять с помощью предельного перехода (см. ниже). Мы будем неявно предполагать, что соответствующий предельный переход используется во всех случаях и писать, подобающе злоупотребляя обозначениями, формулы, подобные (0.0.1) и (0.0.3), даже когда предельный переход лишь подразумевается.

Стандартное свойство преобразования Фурье:

отсюда

при этом

Если функция имеет компактный носитель, т. е. для или где то ее преобразование Фурье корректно определено для комплексных и

Более того, если бесконечно дифференцируема, то применив такие же рассуждения к можно получить оценку для Таким образом, для функции из с носителем существует константа такая, что аналитическое продолжение преобразования Фурье функции удовлетворяет неравенству

Обратно, любая целая функция, которая удовлетворяет оценке вида (0.0.4) для всех является аналитическим продолжением преобразования Фурье функции из с носителем Это утверждение теоремы Пэли-Винера.

Время от времени мы будем встречаться с распределениями (обобщенными функциями). Это линейные отображения Т из множества состоящего из функций класса убывающих быстрее, чем любая отрицательная степень в С такие, что для любых существуют для которых выполнено

для всех Множество всех распределений обозначается Любая полиномиально ограниченная функция может быть интерпретирована как распределение, при этом Другим примером является так называемая -функция» Дирака, Говорят, что распределение Т имеет носитель если для всех функций носитель которых имеет пустое пересечение с Можно определить преобразование Фурье или Т для распределения Т: (если Т — функция, то это определение совпадает с данным ранее). Существует версия теоремы Пэли-Винера для распределений: целая функция является аналитическим продолжением преобразования Фурье распределения Т в с носителем тогда и только тогда, когда для некоторых и выполняется неравенство

Единственная мера, которую мы будем использовать, — это мера Лебега Часто будем обозначать меру (Лебега) для через в частности, , где

Хорошо известны теоремы из теории меры и интегрирования, которыми мы будем пользоваться:

Лемма Фату. Если почти всюду (т. е. множество точек, где поточечная сходимость не выполняется, имеет лебегову меру ноль), тогда

В частности, если конечен, интегрируема.

(lim sup последовательности определяется как

любая последовательность, даже не имеющая предела, например имеет который может быть для последовательностей, имеющих предел, совпадает с этим пределом.)

Теорема об интегрируемости предела мажорируемой последовательности. Пусть почти всюду. Если для всех то интегрируема и

Теорема Фубини. Если

т. e. возможна перемена порядка интегрирования.

В этих трех теоремах областью интегрирования может выступать любое измеримое множество из М (или для теоремы Фубини).

Обычное обозначение при использовании гильбертова пространства — если только оно не имеет названия. Мы будем следовать соглашению, принятому среди математиков, и использовать скалярные произведения, линейные по первому аргументу:

Как обычно, имеем

где а обозначает комплексное сопряжение и для всех и Определим норму для и через

В гильбертовом пространстве влечет а все последовательности Коши (в смысле ) имеют пределы из этого же пространства. (Более точно: если меньше любого наперед заданного числа при достаточно больших , т. е. для любого существует по, зависящее от такое, что для по, то существует и такое, что стремится к и при )

Стандартным примером гильбертова пространства является пространство в нем

Здесь интегрирование берется от до мы часто будем опускать пределы интегрирования, если ведем его вдоль всей вещественной оси.

Другим примером является множество всех суммируемых с квадратом последовательностей комплексных чисел с целыми индексами и

Снова будем опускать пределы суммирования, если суммируем по всем целым числам. Оба пространства имеют бесконечномерные базисы. Еще проще выглядят конечномерные гильбертовы пространства, стандартным примером которых является со скалярным произведением

Гильбертовы пространства всегда имеют ортонормированные базисы, т. е. в них существуют такие семейства векторов что

для всех и (Мы рассматриваем только сепарабельные гильбертовы пространства, т. е. пространства, в которых ортонормированные базисы являются счетными). Примерами ортонормированных базисов могут служить функции Эрмита в последовательности определенные как из все компоненты кроме равны нулю), или к векторов определенные как . (Мы используем символ Кронекера в его обычном значении: если если

Стандартное неравенство в гильбертовом пространстве, неравенство Коши-Шварца

легко доказывается путем выписывания (0.0.5) для подходящих линейных комбинаций и . В частности, для мы имеем

и для

Из (0.0.6) следует, что

Операторами на являются линейные отображения из в другое гильбертово пространство, часто само Точнее, если А — некоторый оператор на то

Оператор непрерывен, если любое можно сделать сколь угодно малым, выбирая малым Точнее, для любого должно

существовать (зависящее от е), такое, что влечет . Если мы возьмем то обнаруживаем, что для некоторого если Для любого мы можем определить Ясно, что , таким образом, Если ограничено, то оператор А называется ограниченным. Мы только что показали, что любой непрерывный оператор ограничен; обратное также верно. Норма для А определена

Отсюда немедленно следует, что для всех и

Операторы из в С называются линейными функционалами. Для ограниченных линейных функционалов имеем теорему Рисса о представлении: для любого I: , линейного и ограниченного, т. е. для всех и существует единственный такой, что

Оператор из называем изометрическим, если для всех унитарным, если, более того, т. е. каждый элемент может быть записан как для некоторого Если образуют ортонормированный базис в и — унитарный, то образуют ортонормированный базис в -Обратное также верно: любой оператор, который отображает ортонормированный базис в другой ортонормированный базис, является унитарным.

Множество называется плотным в если любой элемент может быть записан как предел последовательности из (Говорят, что замыкание совпадает со всем Замыкание множества получается добавлением всех являющихся пределами последовательностей из Если определены только для но мы знаем, что

то мы можем расширить А на все «по непрерывности». Точнее, если и то находим такую, что Тогда обязательно будет последовательностью Коши, и, ввиду (0.0.9), такой же будет

и таким образом, имеет предел, который мы назовем не зависит от конкретного выбора последовательности

Нам придется иметь дело и с неограниченными операторами, т. е. А, для которых не существует конечной С такой, что выполнено для всех и Известно, что обычно они определены только на плотном множестве в и не могут быть продолжены с помощью описанного трюка (поскольку не являются непрерывными). В качестве примера мы можем взять в где множество бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями. Плотное множество, на котором оператор определен, называется его областью определения.

Сопряженным к ограниченному оператору А из гильбертова пространства в гильбертово пространство (которое может совпадать с является оператор А из определенный выражением

которое должно выполнятся для всех (Существование А гарантировано теоремой Рисса: для фиксированного мы можем определить линейный функционал I из с помощью Он, очевидно, является ограниченным и соответствует вектору так, что Легко проверить, что соответствие — линейное, оно и определяет оператор А.) Имеем

Если (при условии, что А отображает в себя), то А называется самосопряженным. Если самосопряженный оператор А удовлетворяет для всех и то он называется положительным оператором. Это часто обозначается как А 0. Мы будем писать А В, если положительный оператор.

Ядерными операторами называются специальные операторы такие, что сумма конечна для всех ортонормированных базисов в Для таких операторов не зависит от выбранного ортонормированного базиса; мы назовем такую сумму следом А,

Если — положительный, то достаточно проверить является ли конечной для одного ортонормированного базиса; если это так, то — ядерный оператор. (Это не выполняется для неположительных операторов!)

Спектр оператора из в себя состоит из всех таких, что обозначает тождественный оператор, не имеет ограниченного обратного. В конечномерном гильбертовом пространстве состоит из собственных значений А, в бесконечномерном случае а содержит все собственные значения (образующие точечный спектр), но часто содержит и другие , образующие непрерывный спектр. (Например, в умножение на не имеет точечного спектра, но его непрерывным спектром является ) Спектр самосопряженного оператора состоит только из вещественных чисел; спектр положительного оператора содержит лишь неотрицательные числа. Спектральный радиус определен с помощью

Он имеет свойство:

Самосопряженный оператор может быть диагонализован. Легче всего это понять, если спектр состоит только из собственных значений (как в случае конечной размерности). Имеем

с соответствующим ортонормированным семейством собственных векторов

Тогда для всех

что является диагонализацией А. (Спектральные теоремы позволяют нам обобщить этот результат, если часть спектра (или весь спектр)

непрерывна, но нам это не понадобится). Если два оператора коммутируют, т. е. для всех и то их можно диагонализовать одновременно: существует ортонормированный базис такой, что

Многие из перечисленных свойств ограниченных операторов могут быть сформулированы для неограниченных операторов: сопряженные, спектр, диагонализация — все это существует и для неограниченных операторов. Необходимо, однако, быть осторожным с областями определения. Например, обобщение одновременной диагонализации коммутирующих операторов требует аккуратного определения коммутирующих операторов: существуют патологические примеры, где оба А, В определены в области и В А имеют смысл в но А, В не диагонализуемы одновременно (поскольку слишком «мала», для примера см. Рид, Саймон [191]). Точное определение коммутативности для неограниченных самосопряженных операторов использует понятие соответствующих ограниченных операторов: коммутируют, если соответствующие им унитарные эволюционные операторы коммутируют. Для самосопряженного оператора Н соответствующий унитарный эволюционный оператор определен следующим образом: для любого области определения Н (осторожно: область определения самосопряженного оператора не является просто плотным множеством, на котором определен Н), — это решение в момент дифференциального уравнения

с начальным условием

Банаховы пространства имеют много общих свойств с гильбертовыми, но являются более общим понятием. Они являются линейными пространствами с нормой (которая не обязательно, а в общем случае и вовсе не получается из скалярного произведения), полными относительно этой нормы (т. е. все последовательности Коши сходятся, см. выше). Некоторые из понятий, приведенных выше для гильбертовых пространств, существуют и для банаховых пространств, например, ограниченные операторы, линейные функционалы, спектры, спектральные радиусы. Примером банахова пространства, не являющегося гильбертовым, является множество всех функций из таких, что

конечна, Другим примером служит множество всех ограниченных функций на Двойственным пространством Е к банахову пространству Е является множество всех ограниченных линейных функционалов на Е; оно также линейно, с естественной нормой (определенной как в (0.0.7)), полное относительно этой нормы: Е само является банаховым. В случае -пространств, , оказывается, что элементы из где и связаны соотношением определяют линейные функционалы на . В самом деле, по неравенству Гельдера

Оказывается, что все ограниченные линейные функционалы на имеют такой вид, т. е. . В частности, двойственно само себе, по теореме Рисса (см. выше) каждое гильбертово пространство двойственно самому себе. Сопряженный А к оператору А из является оператором из в Е, определенным по правилу

Существуют различные типы базисов в банаховых пространствах. (Мы снова рассмотрим только случай сепарабельных пространств, в которых базисы счетны). Элементы образуют базис Шаудера, если для всех существует единственная такая, что если Требование единственности на влечет линейную независимость в том смысле, что ни один не может лежать в линейной оболочке, натянутой на остальные элементы, т. е. не существует таких, что . Для базиса Шаудера порядок может быть важным. Базис называется безусловным, если дополнительно он удовлетворяет одному из двух свойств:

— , какова бы ни была

— если выбрано случайным образом для каждого то .

Для безусловного базиса порядок, в котором берутся вектора базиса, не имеет значения. Не все банаховы пространства имеют безусловные базисы. Например, их не имеют.

В гильбертовом пространстве безусловный базис называется базисом Рисса. Базис Рисса может характеризоваться также и следующим эквивалентным требованием: существуют такие, что

для всех Если А — ограниченный оператор с ограниченным обратным, то А отображает любой ортонормированный базис в базис Рисса. Более того, все базисы Рисса могут быть получены как такие образы ортонормированных базисов. К слову, базисы Рисса — это следующая после ортонормированных базисов хорошая вещь. Заметим, что неравенств в (0.0.10) недостаточно, чтобы гарантировать, что образуют базис Рисса: с необходимостью должны быть линейно независимыми!