Примечания

1. Все такие пространства Бергмана в дальнейшем можно преобразовать с помощью (стандартного) конформного отображения в гильбертовы пространства аналитических функций на единичном круге.

2. В этом параграфе я, в основном, ссылаюсь на статьи Гроссмана, Морле и Пола [90], [91]. На самом деле, их результаты можно обобщить и на приводимые представления, если только они имеют циклический вектор (Гроссман, Пол, личное общение). Это полезно для многомерного случая, когда представления -группы являются приводимыми и в то же время цикличными.

3. Оператор полученный «транспортировкой» Н в гильбертово пространство Баргмана с помощью унитарного отображения Ток, получается особенно простым:

или Очевидно, что собственными функциями являются мономы Следующие рассуждения показывают, что на самом деле это функции из пространства Баргмана, соответствующие функциям Эрмита. Легко вычислить, что

так что соответствует в пространстве Баргмана. (Мы используем нормировку так что сама соответствует 1, постоянной функции, в пространстве Баргмана.) В частности, это означает, что

каждая неограниченная функция приводит к неограниченному оператору. Некоторые ограниченные операторы могут быть представлены только таким образом, если используется неограниченная весовая функция. На самом деле, Клаудером [110] доказано, что даже некоторые ядерные операторы требуют распределений в качестве весовых функций.

5. Для вещественных функций требуется, чтобы был бы самосопряженным в этой области.

6. Другое приложение из квантовой механики приведено Добеши и Клаудером в [58], где показано, как написать (математически не определенный корректно) интеграл по траекториям для как предел интегралов Винера (когда константа диффузии в диффузионном процессе стремится к при условии, что Н имеет вид (2.8.2) с весовой функцией которая не возрастает слишком быстро при Аналогичная теорема может быть доказана для случая вейвлетов (Добеши, Клаудер, Пол [61]).

7. В точности те же самые рассуждения верны для операторов вида (2.8.2), для которых имеет вращательную симметрию, даже если это не характеристическая функция. Примером является для которой Гори и Гуаттари [85] впервые показали, что функции Эрмита являются собственными функциями (вне зависимости от а. Собственные значения, конечно, зависят от

8. Это не совпадение, что Феферману и де Лаве пришлось использовать представление вида (2.8.3) для оператора (2.8.4): ведь формула Кальдерона ((2.4.4) эквивалентна ей) является частью инструментария, разработанного для изучения сингулярных интегральных операторов (задолго до вейвлетов!), и она хорошо приспособлена для рассмотрения сингулярного ядра в (2.8.4). В этом частном случае (2.8.4) имеет смысл даже для недопустимых не участвует). В [79] в качестве Феферман и де Лаве выбрали характеристическую функцию единичного шара (которая не является допустимой, так как имеет ненулевой интеграл).

9. Если мы произведем дополнительное преобразование, отобразив верхнюю полуплоскость на единичный круг (с помощью конформного отображения), то все станет более прозрачным: тогда соответствует простому вращению относительно центра круга, и Н, также, как и его собственные функции, задается простыми выражениями (см. Пол [152] или Сейп [160]).

10. Существуют другие возможности выбора при которых этот анализ работает. При каждом выборе множество в пространстве время-частота, соответствующее из -пространства, приобретает различные формы. Вычисления и рисунок, иллюстрирующий это, можно найти в работе Добеши и Пола [62].