5.5. Регулярность базисов ортонормированных вейвлетов

Для базисов вейвлетов (ортонормированных или нет — см. главу 8) существует взаимосвязь между регулярностью и кратностью нуля функции в точке Это является следствием следующей теоремы (которая для последующего удобства сформулирована и доказана с большей общностью, чем требуется здесь).

Теорема 5.5.1. Предположим, что — две функции, не тождественные константы, такие, что

где . Предположим, что выполняется оценка где ограничены для I то. Тогда

Доказательство.

1. Идея доказательства очень проста. Выберем такие , чтобы была достаточно растянутой, — очень сконцентрированной. (Лишь для наглядности предположим, что имеет компактный носитель.) На таком крошечном носителе срезку

«видимую глазами» можно заменить ее рядом Тейлора, в котором берутся все корректно определенные члены. Однако, поскольку то интеграл от произведения и полинома степени то равен нулю. Затем мы можем менять положение даваемое к. Для каждого положения рассуждения можно повторить, что приведет к целому семейству полиномов степени то, имеющих нулевой интеграл после умножения на Это дает требуемое условие на моменты. Теперь сделаем рассуждения более строгими.

2. Докажем (5.5.1) индукцией по I. Следующие рассуждения работают и для начального шага, и для шага индукции. Предположим, что для (Если то предположение не делается вообще.) Поскольку — непрерывны , а диадические рациональные числа вида составляют плотное множество в М, существуют такие что . (В противном случае ). Тогда либо (для случаев что не верно, либо — полином степени (для случаев ) и, значит, — неограниченная функция, что тоже не верно.) Далее, для любого существует такое что

если Теперь возьмем . Тогда

Так как для то первое слагаемое равняется

Используя ограниченность второе слагаемое можно ограничить с помощью

в первом слагаемом мы заменили верхнюю границу интегрирования на в во втором слагаемом использовали оценки выполняемые для Заметим, что зависят лишь от , но не от и . Комбинируя (5.5.2), (5.5.3) и (5.5.4), приходим к оценке

Здесь можно выбрать произвольно малым, и для соответствующего можно подобрать достаточно большое чтобы второе слагаемое тоже стало малым. Следовательно,

Примененная к базисам ортонормированных вейвлетов, эта теорема дает следующее следствие:

Следствие 5.5.2. Если функции образуют ортонормированное множество в при этом ограничены то для то.

Доказательство.

Следует немедленно из теоремы 5.5.1, в которой положено

Замечание.

1. Другие доказательства можно найти у Мейера в [142], у Батла в [19]. В отличие от представленного, оба доказательства работают с преобразованием Фурье. Подобные связи нулевых моментов и регулярности составляют

часть «народной мудрости» среди специалистов, работающих с теорией Зигмунда-Кальдерона, предшествовавшей вейвлетам.

2. Заметим, что для доказательства следствия 5.5.2 или теоремы 5.5.1 мы не использовали ни кратномасштабный анализ, ни даже того, что функции образуют базис: единственным свойством, имеющим значение, является ортонормированность. В доказательстве Батла (вдохновившем и настоящее доказательство) тоже используется лишь ортонормированность. В доказательстве Мейера целиком используется конструкция кратномасштабного анализа.

Следствие 5.5.3. Предположим, что функции ортонормированы. Тогда не может иметь экспоненциальное убывание, принадлежать и иметь ограниченными все производные при условии, что не является тождественным нулем.

Доказательство.

1. Если , а производные ограничены, то по теореме 5.5.1 для всех Откуда для всех

2. Если имеет экспоненциальное убывание, то аналитична в некоторой полосе Вместе с условием выполненным для всех это дает

В этом и состоит компромис, о котором было заявлено в конце последней части: нам нужно выбирать между экспоненциальным (или более быстрым) убыванием по времени либо по частоте. Мы не можем иметь одновременно то и другое. На практике убывание по х предпочтительнее, чем убывание по .

Последним следствием теоремы 5.5.1 является следующее разложение на множители.

Следствие 5.5.4. Предположим, что функции образуют ортонормированный базис вейвлетов, связанный с кратномасштабным анализом, как описано в § 5.1. Если ограничены для то то, определенная с помощью (5.1.18), (5.1.14), разлагается на множители

где — -периодическая функция из .

Доказательство.

1. В силу следствия для .

2. С другой стороны, Поскольку обе функции принадлежат (см. замечание 3 в конце § 5.3.2), это означает, что в точке дифференцируема то раз и

3. Отсюда имеет ноль порядка то , или

Так как тоже.