103. Вращающийся диск

В качестве первого примера рассмотрим задачу о конвективной диффузии к вращающемуся дисковому электроду, хорошо известному электрохимикам. Представим себе большой или бесконечный диск, вращающийся вокруг своей оси в бесконечной жидкой среде, так что пристенными и краевыми эффектами можно пренебречь. В действительности краевыми эффектами можно пренебречь при подходящей конструкции диска. Так, мы будем рассматривать электрод в виде диска, вмонтированного в еще большую изолирующую поверхность, как показано на рис. 103-1. При этом диск вместе с изолирующей поверхностью вращается. Такая система рассмотрена Риддифордом [8].

Вращение диска приводит к перемешиванию жидкости. Гидродинамический аспект этой задачи изложен в разд. 96. Одним из наиболее важных результатов был тот факт, что

перпендикулярная к поверхности диска скорость, благодаря которой к диску переносится новый реагент, зависит от а не от

Следовательно, нет причин для того, чтобы концентрация зависела еще от других факторов, кроме расстояния до диска, и уравнение конвективной диффузии (102-2) приобретает вид

с краевыми условиями

Рис. 103-1. Вращающийся дисковый электрод.

В случае предельного тока -Таким образом тот факт, что скорость течения, несущего реагент к диску, одинакова на всей поверхности, с математической точки зрения удобен тем, что позволяет свести уравнение конвективной диффузии к обыкновенному дифференциальному уравнению. Практически это обстоятельство выгодно тем, что скорость реакции на электроде будет всюду одинаковой независимо от расстояния до оси вращения.

В работе [9] проанализирована задача о массопереносе к вращающемуся диску для описанного выше течения. Аналогичная задача о теплопереносе была рассмотрена Вагнером лишь в 1948 г. [10].

Уравнение (103-2) является дифференциальным уравнением первого порядка относительно Его интегрирование дает

или

В результате второго интегрирования получаем

Из краевого условия (103-3) теперь можно найти постоянную К:

где последнее выражение получено при использовании равенства (103-1) и числа Шмидта Тогда решение можно записать в виде

Здесь

есть безразмерная концентрация. Поток на поверхности диска равен

а с помощью уравнения (101-2) плотность тока можно выразить как

где штрих обозначает производную по и

Из равенства (103-12) видно, что безразмерная скорость массопереноса зависит лишь от числа Шмидта Эта зависимость изображена на рис. 103-2 (см. работу [11]). Если поток массы или плотность тока известны, то ордината не зависит от коэффициента диффузии [равенство (103-11)]. Следовательно, этот графический метод обладает тем преимуществом, что позволяет определять коэффициенты диффузии с помощью вращающегося диска. Ордината вычисляется непосредственно по предельной плотности тока. Тогда число Шмидта можно получить прямо из графика, не прибегая к методу проб и ошибок в

расчетах. При этом коэффициент диффузии находится по формуле

Асимптота кривой на рис. 103-2 для больших чисел Шмидта получена в 1942 г. [9]. В этом случае коэффициент диффузии мал и концентрация изменяется очень близко к поверхности диска (при малых значениях на рис. 96-1). Поэтому в уравнении (103-12) целесообразно использовать первый член, описывающий профиль скорости при малых значениях в соответствии с уравнением (96-13).

Рис. 103-2. Безразмерные скорости массопереноса в случае вращающегося диска [66].

Массоперенос вблизи диска при больших числах Шмидта особенно важен для диффузии в жидкостях, так как в этом случае число Шмидта достигает порядка 1000. Поправки к этой асимптоте можно найти, разлагая скорость массопереноса при больших числах Шмидта, в результате получаем [12] выражение

которое описывает кривую на рис. 103-2 при (в этой области максимальная ошибка составляет около По этому вопросу см. также работу [13].

При малых числах Шмидта диффузионный слой простирается на большие расстояния от диска, и теперь целесообразно использовать профиль скорости, описываемый уравнением (96-15). При малых числах Шмидта уравнение (103-12) приобретает вид

Первый член этого уравнения показывает, что при очень больших коэффициентах диффузии максимальный поток на диск полностью определяется скоростью конвективного переноса вещества с бесконечности:

Ввиду того что характер течения жидкости вблизи дискового электрода хорошо известен, этот электрод широко использовался для определения коэффициентов диффузии и параметров кинетики электродных процессов. Его можно применять и для количественного (полярографического) анализа в растворах электролитов. Краевой эффект при вращении диска рассмотрен в работе [14].

Широко распространен также вращающийся диск с кольцом, поскольку с помощью кольцевого электрода можно регистрировать активные промежуточные продукты, возникающие на дисковом электроде. Регистрируемые таким образом количества вещества можно сопоставить с теоретическим значением коэффициента эффективности данной системы [15, 16].