Глава 18. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

115. Упрощения в задачах теории потенциала

Если можно пренебречь концентрационными градиентами, то, подставляя равенство (100-1) в уравнение (100-4), получаем

где

есть проводимость раствора. Сумма членов, описывающих конвективный перенос, обращается в нуль согласно условию электронейтральности (100-3). Умножая уравнение (100-2) на и суммируя по находим

Это означает, что потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.

Граничные условия определяются равенством (115-1). На изоляторах

где у — расстояние по нормали к поверхности. На электродах равенство (115-1) связывает производную потенциала с поверхностным перенапряжением посредством уравнения (101-3) или (101-4). Если потенциал в растворе измеряется с помощью электрода сравнения того же типа, что и рабочий электрод то поверхностное перенапряжение можно исключить, используя соотношение

где V — потенциал металлического электрода. Получающееся граничное условие осуществляет нелинейную связь между потенциалом и его производной, что реже встречается в других приложениях теории потенциала.

Как сказано выше, задача о распределении потенциала идентична задаче о распределении стационарной температуры в твердых телах. При этом потенциал играет роль температуры, плотность тока аналогична тепловому потоку, а электропроводность — теплопроводности. Поэтому полезно ознакомиться с монографиями по переносу тепла, например с книгой Карелоу и Егера [1]. Полезно также знать электростатику [2, 27] и теорию течения идеальных жидкостей [3, 28], поскольку с этими разделами физики приходится сталкиваться при решении уравнения Лапласа.

Интересный обзор задач о распределении потенциала написал Руссело [4]. Обзор соответствующей литературы в историческом аспекте дал Кронсбейн [5], а Флек [6] собрал имеющиеся аналитические решения задач теории потенциала.