104. Задача Граца

Одна из важнейших задач, решенных в числе первых, — аналитическое описание массопереноса к стенке цилиндрической трубы с установившимся пуазейлевским течением:

Здесь через обозначены цилиндрические координаты, причем z измеряется вдоль трубы, радиальное расстояние от центра трубы. Хотя число Рейнольдса может достигать 2000, прежде чем течение станет турбулентным, рассматриваемое течение нельзя относить к типу, характеризующемуся наличием пограничного слоя.

Уравнением конвективной диффузии является

Мы будем рассматривать массоперенос при постоянной концентрации вблизи поверхности, начиная сточки где пуазейлевское течение является полностью развитым:

В случае предельного тока Другие краевые условия можно записать в виде

Иными словами, входная концентрация равна а из условий симметрии следует, что производная концентрации по радиусу в центре трубы равна нулю.

Введем безразмерные переменные:

Уравнение конвективной диффузии приобретает вид

где

есть число Пекле. Рассматривая большие числа Пекле, можно опустить вторую производную по

Полное количество вещества, переносимого к стенке на длине равно

или

где среднее число Нуссельта, соответствующее входной разности концентраций.

Число Нуссельта является безразмерной скоростью массопереноса:

где поток выражен в единицах характерного потока Здесь характерная длина, коэффициент диффузии и входная разность концентраций. Для локального числа Нуссельта используется локальный поток, а для среднего числа Нуссельта — средний поток. В тех случаях, когда можно пренебречь миграцией ионов, поток можно выразить через производную концентрации на стенке.

Рис. 104-1. Функции Граца.

Для случая одной электродной реакции, описываемой уравнением (101-1), уравнение (101-2) позволяет связать локальное число Нуссельта с плотностью тока:

Построение решения методом разделения переменных. Следуя Нуссельту [18], Грац применил к этой задаче метод разделения переменных [17]:

где функции удовлетворяют уравнению

с краевымиусловиями

Эта задача Штурма-Лиувилля была решена, и на рис. 104-1 представлены первые три функции:

Полное количество вещества, переносимого на стенку, можно рассчитать по формуле

где первые десять значений приведены в табл. 104-1, взятой из работы Брауна [19].

Таблица 104-1 (см. скан) Собственные значения и коэффициенты ряда Граца

Вид решения на малых расстояниях. Как показал Левек [20], при малых значениях в диффузионном слое вблизи стенки производные по становятся большими. Внутри диффузионного слоя выполняются следующие приближенные выражения:

и

Уравнение диффузии имеет вид

а краевыми условиями служат

Кроме того, вне диффузионного слоя в приближается, к 1. Преобразование подобия

сводит уравнение диффузии к обыкновенному дифференциальному уравнению

решением которого является

Выраженный через физические переменные, параметр подобия можно записать в виде

Здесь

есть расстояние от стенки. Определяемая равенством (104-24) функция изображена на рис. 102-1, где представлено в виде абсциссы

Полное количество вещества, переносимого на стенку, равно

Из этого выражения видно (лучше, чем из ряда Граца), что скорость массопереноса вблизи начального сечения не ограничена.

Обобщение решения Левека. Имея приближенное решение на малых расстояниях, можно получить [21] поправочные члены, которые учитывают приближения (104-18) и (104-19) и подтверждают их справедливость. Исходя из этого, среднее число Нуссельта, относящееся к разности концентраций на входном участке, можно выразить в виде

Локальное число Нуссельта равно

В противоположность ряду Граца ряд Левека не сходится при всех значениях Этот ряд полезен лишь при малых значениях

На рис. 104-2 показано локальное число Нуссельта, поделенное на первый член ряда Левека, так что это отношение стремится к единице по мере приближения к нулю. Пунктирные линии показывают, насколько хорошо ряд Левека аппроксимирует точное решение.

Рис. 104-2. Безразмерная разность концентраций и локальное число Нуссельта, поделенное на первый член ряда Левека. Для сравнения показаны двух- (1) и трехчленные (2) решения Левека.

На рисунке приведена также безразмерная разность концентраций связанная со средним числрм Нуссельта соотношением

Считается, что решение Левека годится при При этом значении при котором возможный массоперенос уже осуществлен на 16%, решение Левека дает среднюю скорость массопереноса, которая на 15,4% выше истинной, в то время как трехчленные решения Левека описывают массоперенос с точностью около

Более подробно задача Граца обсуждается в работе [22].