96. Течение жидкости к вращающемуся диску

Вращающийся дисковый электрод весьма популярен в электрохимических исследованиях, частично вследствие того, что гидродинамика здесь хорошо известна, а частично из-за небольших размеров и простоты экспериментального устройства. Вращающийся диск также является одной из немногих систем, для которых возможно нетривиальное решение уравнений механики жидких сред.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой жидкости, вызванное вращением большого диска вокруг оси, проходящей через его центр. Для этой цели воспользуемся цилиндрическими координатами расстояние по перпендикуляру от диска, радиальное расстояние от оси вращения). На поверхности диска скорость имеет вид

Последнее условие выражает тот факт, что вращающийся диск увлекает прилегающую к нему жидкость и придает ей угловую скорость

При вращении возникает эффект центрифуги, благодаря которому жидкость стремится двигаться в радиальном направлении. Это приводит к возникновению радиальной составляющей скорости, которая равна нулю на поверхности диска, имеет максимум вблизи поверхности и затем опять устремляется к нулю по мере возрастания расстояния до диска. Для восполнения жидкости, утекающей в направлении необходимо иметь ненулевую проекцию на оси z скорости, которая приносит жидкость из удаленной части пространства. Такова качественная картина течения, в которой ни одна из составляющих скорости не обращается в нуль.

В цилиндрических координатах уравнение непрерывности (93-3) приобретает вид [2]

а проекции уравнения движения (94-4) на оси цилиндрической системы координат выглядят следующим образом:

В этих уравнениях мы использовали динамическое давление введенное в уравнении (93-6). В нашей задаче о стационарном течении, обладающем осевой симметрией, производные по и 0 обращаются в нуль.

В 1921 г. фон Карман [3] предложил свести эти уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, представляя решение в виде

Такое представление решения соответствует разделению переменных.

Подставляя эти выражения в уравнения (96-2) и (96-5), получаем

где штрихи соответствуют дифференцированию по 2.

Граничными условиями служат равенства

Кроме того, требуется определить значение хотя бы в одной точке.

С помощью преобразования фон Кармана задачу удается свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако следует отметить, что в таком решении не учитывается тот факт, что радиус диска может быть конечным. На практике этим краевым эффектом часто можно пренебречь, и получающееся решение оказывается вполне пригодным [4].

Остальные параметры можно исключить путем введения безразмерных расстояния, скорости и давления с помощью следующих формул:

Дифференциальные уравнения (96-7) приобретают вид

где теперь штрихи обозначают дифференцирование по Граничными условиями служат равенства

Поскольку эти уравнения нелинейны, их решение приходится искать численными методами. Кочрэн [5] дал оригинальное решение этих уравнений, проводя разложение в ряды при малых и больших значениях Неизвестные коэффициенты разложения определялись из условия согласования получающихся рядов при промежуточных значениях Однако значительно проще решить систему нелинейных дифференциальных уравнений прямыми численными методами (приложение В). Решение уравнений (96-10), удовлетворяющее условиям (96-11), показано на рис. 96-1. После того как профили скоростей уже определены, давление можно получить путем интегрирования последнего из уравнений (96-10):

Нормальную составляющую скорости важно знать при нахождении скорости массопереноса к вращающемуся диску (разд. 103). Для малых расстояний от диска безразмерную скорость можно выразить в виде степенного ряда

с коэффициентами [5, 6]

С другой стороны, на больших расстояниях от диска безразмерная скорость выражается как

где

Рис. 96-1. Профили скоростей вблизи вращающегося диска.

Тот факт, что нормальная составляющая скорости зависит лишь от нормальной координаты а не от радиальной координаты служит дополнительной причиной популярности вращающегося дискового электрода среди электрохимиков.

Течение в пограничном слое остается ламинарным при числах Рейнольдса вплоть до На больший расстояниях от оси вращения течение становится турбулентным.