116. Первичное распределение тока

Так называемые первичные распределения тока и потенциала имеют место в том случае, когда можно полностью пренебречь поверхностным перенапряжением. Тогда раствор вблизи электрода можно считать эквипотенциальной поверхностью.

Рис. 116-1. Два плоских электрода, расположенные напротив друг друга на непроводящих стенках проточного канала.

При этом решение уравнения Лапласа — не совсем тривиальная задача даже в случаях сравнительно простой геометрии.

Мултон [7] дал классическое решение задачи о первичном распределении тока в системе из двух электродов, расположенных произвольно на сторонах прямого угла. Его работа служит примером решения уравнения Лапласа с помощью конформного отображения [8], в данном случае использующего преобразование Шварца-Кристоффеля.

Рассмотрим частный случай двух электродов, расположенных напротив друг друга на стенках проточного канала (рис. 105-3). Распределение потенциала при показано на рис. 116-1, где линии тока изображены сплошными кривыми, а эквипотенциальные поверхности — пунктирными. Кривые этих двух

семейств перпендикулярны друг другу в каждой точке раствора. На краях электрода эквипотенциальные линии сближаются, и в этих точках первичная плотность тока обращается в бесконечность.

Рис. 116-2. Распределение тока на плоских электродах. 1 — ограничения за счет конвективной диффузии; 2 — ограничения за счет омического падения

Первичное распределение тока при показано на рис. 116-2. Это распределение описывается равенством

где отсчитывается от центра электрода, а полный эллиптический интеграл первого рода, таблицы которого приведены в справочнике [9]. Сложность этого выражения дает некоторое представление о трудности получения первичного распределения потенциала. Для сравнения на рис. 116-2 показано также распределение предельного диффузионного тока в случае ламинарного течения (разд. 105).

Первичное распределение тока (рис. 116-2) не зависит от скорости течения, так как конвекция достаточно велика, чтобы устранить концентрационные изменения. Это обстоятельство объясняет симметричность распределения. На краях электродов

плотность тока бесконечна, поскольку ток может проходить через раствор за пределами электродной области (рис. 116-1). Это — общее свойство первичных распределений тока. В точке соприкосновения электрода с изолятором плотность тока либо бесконечна, либо равна нулю, если только поверхности электрода и изолятора не пересекаются под прямым углом (рис. 116-3). Если электрод и изолятор расположены в одной и той же плоскости, то на малых расстояниях от края электрода плотность тока обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния. Такой тип зависимости дает равенство задающее плотность тока. В общем случае первичное распределение тока показывает, что на менее доступных частях электрода плотность тока понижена.

Рис. 116-3. Особенности первичного распределения тока вблизи края электрода.

Первичное распределение тока определяется лишь геометрическими факторами. Так, в параметр входят только безразмерные комбинации геометрических характеристик ячейки, а от проводимости раствора не зависит. Сопротивление этой ячейки равно

где ширина электродов.

В работе Каспера [10] приведено первичное распределение тока для точечного и плоского электродов, для линейных электродов, параллельных плоским электродам и плоским изоляторам, а также для цилиндрических электродов в различных конфигурациях. Для таких систем удобно применять метод изображений. Хайн и др. [11] описали первичное распределение тока в системе двух плоских электродов бесконечной длины и конечной ширины, помещенных между двумя бесконечными непроводящими плоскостями, перпендикулярными к электродам, но не соприкасающимися с ними. Вагнер [12] вычислил распределение тока в случае двумерной щели на плоском электроде. Эти задачи также являются примерами применения преобразования Шварца-Кристоффеля. Коджима [13] составил подборку формул для сопротивлений между двумя электродами различных конфигураций. Имеются аналогичные подборки для сопротивления теплопереносу в твердых телах [14] и для емкости двух электродов.

На дисковом электроде радиуса вмонтированном в бесконечную непроводящую плоскость, первичное распределение тока при бесконечно удаленном противоэлектроде имеет вид [15]

Рис. 116-4. Линии тока и эквипотенциальные линии в случае дискового электрода.

Соответствующие эквипотенциальные линии и линии тока показаны на рис. 116-4. Опять эквипотенциальные линии сближаются вблизи краев электрода, где плотность тока пропорциональна обратной величине квадратного корня из расстояния до края электрода. Распределение тока зависит лишь от геометрических параметров, а сопротивление при полусферическом электроде на бесконечности равно

Эта система является примером применения метода разделения переменных, а также рядов и интегралов Фурье (16, 17].

В случае двух электродов, расположенных на непроводящей плоскости, закон обратного корня вблизи краев электродов

по-прежнему справедлив. Однако по мере уменьшения расстояния между электродами коэффициент пропорциональности при обратном корне обращается в бесконечность таким образом, что при исчезновении промежутка между электродами полный ток становится бесконечным. Следовательно, решать задачу о первичном распределении тока в случае контакта двух электродов, находящихся при различных потенциалах, физически бессмысленно.