106. Двумерные диффузионные слои при вынужденной ламинарной конвекции

В 1942 г. автор работы [9], рассматривая перенос электролита к вращающемуся диску, заметил, что при диффузии, особенно ионной, число Шмидта достигает нескольких тысяч. «Таким образом, в данном случае, — пишет он, — мы имеем дело с особым предельным случаем гидродинамики, который можно назвать гидродинамикой больших чисел Прандтля (или Шмидта)». Лайтхилл [30] получил теоретическое выражение для скорости переноса тепла, справедливое в том случае, когда область изменения температуры узка по сравнению с областью изменения скорости. В свою очередь Акривос [31] показал, что этот метод применим к широкому кругу задач, если числа Шмидта велики. Следовательно, если распределение скорости вблизи электрода известно заранее, то для электрохимических систем с большим числом Шмидта часто удается получить распределение концентрации и скорость массопереноса в стационарных задачах. Многие результаты, относящиеся к переносу электролитов, можно рассматривать как частный случай применения этого метода.

Распределение концентрации в тонком диффузионном слое вблизи электрода подчиняется уравнению

Это уравнение имеет место в случае двумерного течения вблизи электрода, причем координата х отсчитывается от края электрода, расположенного выше по течению, а координата у отсчитывается по нормали от поверхности в раствор.

Поскольку диффузионный слой тонок по сравнению с областью изменения скорости, для составляющих скорости можно приближенно воспользоваться первыми членами разложения в ряд Тейлора по степеням у:

Здесь — производная скорости вычисленная на поверхности Эти выражения для скорости удовлетворяют уравнению непрерывности (100-6), которое в прямоугольных координатах имеет вид

и краевым условиям при Воспользовавшись этими приближенными выражениями, перепишем уравнение (106-1) в виде

Если концентрация на поверхности имеет постоянное значение Со, то концентрационные профили при разных значениях х подобны и зависят лишь от переменной

Тогда концентрационный профиль выражается через эту переменную формулой

где Эта функция изображена на рис. 102-1. Таблица ее численных значений приведена в работе [32].

Таким образом, предельная плотность тока равна

Уравнение (105-9) для течения между двумя пластинами является частным случаем уравнения (106-7), в котором не зависит от и равно Если уже известно, то уравнение (106-7) дает скорость массопереноса.